Investigando la solución de una ecuación con términos exponenciales. Cálculo de una parte de la solución (la más sencilla)

En este ejercicio me propongo investigar la ecuación $$3^x=x^3$$

Para visualizar la solución, dibujaré las gráficas de las funciones de los dos miembros de la igualdad: la función exponencial $f(x):=3^x$ (en color azul) y la función polinómica $g(x)=x^3$ (en color naranja); así, podré saber en cuántos puntos se intersecan sus trazos: las abcisas de los puntos de intersección son los valores solución de la ecuación (por supuesto, en el conjunto de los números reales). Para realizar las gráficas he utilizado la utilidad WolframAlpha.

Me doy cuenta de que las gráficas de las dos funciones se intersecan en dos puntos, luego la solución de la ecuación consta de dos valores reales: uno de ellos es un número entero, y el otro es un número no entero.

Como váis a ver enseguida es sencillo encontrar el valor entero, que es $3$, según lo que se vé en las gráficas (la abscisa del punto rojo de la derecha); sin embargo, el valor no entero (la abscisa del punto rojo de la izquierda), ya no será tan fácil calcularlo, si bien, de manera automática, el asistente que he utilizado indica en el diagrama su valor aproximado.

Omitiré en este artículo el cálculo del valor de la izquierda (que no corresponde a un número entero), y me centraré en el valor entero de la solución:
$3^x=x^3$
  $\ln\,3^x=\ln\,x^3$
    $x\,\ln\,3=3\,\ln\,x$
      $\dfrac{x\,\ln\,3}{(\ln\,x)\,(\ln\,3)}=\dfrac{3\,\ln\,x}{(\ln\,x)\,(\ln\,3)}$
        $\dfrac{x}{\ln\,x}=\dfrac{3}{\ln\,3} \Rightarrow x=3$
$\diamond$