Un ejercicio propio de Olimpiada Matemática

En este artículo voy a mostrar cómo encontrar la solución del siguiente sistema de ecuaciones, una de las cuales es no lineal: $$\left\{\begin{matrix}x+y=2 \\ x^5+y^5=82\end{matrix}\right.$$

Enumero las ecuaciones para referirme a ellas en el proceso de resolución:
$$\left\{\begin{matrix}x+y=2 & (1) \\ x^5+y^5=82 & (2)\end{matrix}\right.$$ Elevando al cuadrado los dos miembros de $(1)$,
  $(x+y)^2=2^2$
    $x^2+y^2+2xy=4$
      $x^2+y^2=4-2xy \quad (1.1)$
Elevando al cubo los dos miembros de $(2)$,
  $(x+y)^3=2^3$
    $x^3+y^3+3x^2\,y+3x\,y^2=8$
      $x^3+y^3+3xy(x+y)=8$
        $x^3+y^3=8-3xy(x+y)$
Pero teniendo en cuenta $(1)$, ésto nos queda
          $x^3+y^3=8-3\cdot 2\, xy$
            $x^3+y^3=8-6\, xy \quad (1.2)$
Multiplicando miembro a miembro las igualdades $(1.1)$ y $(1.2)$,
              $(x^2+y^2)(x^3+y^3)=(4-2xy)(8-6xy)$
                $x^5+y^5+x^2\,y^3+x^3\,y^2=(4-2xy)(8-6xy)$
                  $x^5+y^5+x^2\,y^2\,(x+y)=(4-2xy)(8-6xy)$
y teniendo en cuenta $(1)$,
                    $x^5+y^5+2\,x^2\,y^2=(4-2xy)(8-6xy)$
                      $x^5+y^5+2\,x^2\,y^2=4\,(4-3xy)(2-xy)$
tenienod en cuenta $(2)$,
                        $82+2\,x^2\,y^2=4\,(4-3xy)(2-xy)$
                          $41+x^2\,y^2=2\,(4-3xy)(2-xy)$
                            $41+(xy)^2=2\,(4-3xy)(2-xy)$
denotemos ahora $t:=xy$
                            $41+t^2=2\,(4-3t)(2-t)$
y expandiendo el segundo miembro,
                              $41+t^2=2\,(8-6t-4t+3t^2)$
                                $41+t^2=16 -12t -8t +6t^2$
                                  $5t^2-20t-25=0$
                                    $t^2-4t-5=0$
                                      $t=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2\cdot 1}=\dfrac{4\pm 6}{2}=\left\{\begin{matrix}5 \\ -1\end{matrix}\right.$

Para $t=5$, tenemos que $xy=5$, y teniendo en cuenta $(1)$, $x=2-y$, con lo cual $(2-y)\,y=5$, esto es, $y^2-2y+5=0$, luego $y=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1}=\dfrac{2\pm \sqrt{-16}}{2}=\dfrac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$; por lo tanto, $x=2-(1 \pm 2i)=1\mp 2i$. Obtenemos así, dos pares $(x,y)$ que forman parte de la solución: $(1-2i\,,\,1+2i)$ y $(1+2i\,,\,1-2i)$

Para $t=-1$, tenemos que $xy=-1$, y teniendo en cuenta $(1)$, $x=2-y$, con lo cual $(2-y)\,y=-1$, esto es, $y^2-2y-1=0$, luego $y=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2\cdot 1}=\dfrac{2\pm \sqrt{8}}{2}=\dfrac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}$; por lo tanto, $x=2-(1 \pm \sqrt{2})=1\mp \sqrt{2}$. Obtenemos así, otros dos pares $(x,y)$ que también forman parte de la solución: $(1-\sqrt{2}\,,\,1+\sqrt{2})$ y $(1+\sqrt{2}\,,\,1-\sqrt{2})$

En conclusión, la solución del sistema de ecuaciones pedido está formado por el siguiente conjunto de pares de valores $(x,y)$: $$\{(1-2i\,,\,1+2i)\,,\,(1+2i\,,\,1-2i)\,,\,(1-\sqrt{2}\,,\,1+\sqrt{2})\,,\,(1+\sqrt{2}\,,\,1-\sqrt{2}) \}$$

$\diamond$