Una manera de justificar el teorema del coseno

En este artículo voy a justificar el teorema del coseno a partir del producto escalar. Recordemos que en dicho teorema se afirma que, dado un triángulo $\triangle(A,B,C)$, de vértices $A,B$ y $C$ y lados (enfrentados a los vértices respectivos) $a,b$ y $c$, $c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos(\widehat{BCA})$. Vamos allá.

Establezco un sistema de referencia ortogonal en un punto arbitrario, $O$, del plano, y tomo una base ortonormal, como por ejemplo la base canónica $\mathcal{C}=\{\hat{i}=(1,0)\,,\,\hat{j}=(0,1)\}$. En primer lugar, envío vectores de posición a los vértices del triángulo desde el origen del sistema de referencia: $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ y $\overrightarrow{OC}$, de manera que los vectores que apuntan de un vértice a otro del triángulo se relacionan mediante la suma vectorial, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$

A continuación, y a partir del producto escalar euclidiano, multiplico (escalarmente) el vector $\overrightarrow{AB}$ por sí mismo, $\langle \overrightarrow{AB}\,,\, \overrightarrow{AB}\rangle = \left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2$, que, de acuerdo con el convenio de notación que he utilizado, es igual a la longitud del lado del triángulo enfrentado al vértice $C$, es decir, $\langle \overrightarrow{AB}\,,\, \overrightarrow{AB}\rangle = \left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2=c^2$; pero, por otra parte, y teniendo en cuenta la relación de suma entre los vectores de los lados del triángulo, $\langle \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AB}\rangle=\langle \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\,,\, \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\rangle = \langle \overrightarrow{BC}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle+\langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle + \langle \overrightarrow{BC}\,,\,\overrightarrow{CA}\rangle + \langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{CA}\rangle=$
$=\langle \overrightarrow{BC}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle+\langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle + \langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle + \langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{CA}\rangle=$
$=\langle \overrightarrow{BC}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle+2\,\langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle + \langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{CA}\rangle$
Entonces,
$\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2=\left\| \overrightarrow{BC} \right\|^2 + 2\,\left\| \overrightarrow{CA} \right\|\cdot \left\| \overrightarrow{BC} \right\|\,\cos\,\left(\angle(\overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC})\right) + \left\| \overrightarrow{CA} \right\|^2$, y teniendo en cuenta que $\angle(\overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC})=\pi - \widehat{BCA}$, se tiene que $\cos\,\left(\angle(\overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC})\right)=\cos\,(\pi- \widehat{BCA})=-\cos\,\widehat{BCA}$; y teniendo en cuenta que, de acuerdo con el convenio de notación que he utilizado, $\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2=c^2$, $\left\| \overrightarrow{BC} \right\|^2=a^2$ y $\left\| \overrightarrow{CA} \right\|^2=b^2$, se llega finalmente a

$$c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos(\widehat{BCA})$$

Nota:
Procediendo de manera análoga, y eligiendo cada uno de los otros dos lados vectores se deduce, también, que $a^2=b^2+c^2-2ac\,\cos(\widehat{CAB})$ y $b^2=a^2+c^2-2ac\,\cos(\widehat{ABC})$

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