En este ejercicio de cálculo: $2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{18}$, se pide que se calcule el resultado sin ayuda de la calculadora científica. Daros cuenta de que, en otras palabras, se pide el resultado de la suma de los $18$ primeros términos de una sucesión geométrica de razón igual a $2$ y primer término igual a $1$. Como bien sabréis, la suma de los $n$ primeros términos consecutivos de una sucesión geométrica de razón $r$ y primer término igual a $a_1$ es, $S_n=a_1\,\dfrac{r^n\,-1}{r-1}$, y, en nuestro caso, $a_1=1$, $r=2$ y $n=18$; dicha suma es pues igual $\dfrac{2^{18}-1}{2-1}=2^{18}-1$. La propuesta de calcular esta cantidad sin la ayuda de la calculadora apareció en una Olimpiada Matemática. Como veréis, con paciencia, y poco a poco, escribiendo los pasos, podemos llegar al resultado final, sin necesidad de la ayuda de la calculadora. ¿Te animas a probar a hacer cálculos similares?
$2^{18}-1=$
$=(2^9)^2-1^2$
$=\left(2^9-1\right)(2^9+1)$
$=\left(512-1\right)(512+1)$
$=511\cdot 513$
$=(500+11)\cdot (500+13)$
$=500^2+500\,(11+13)+11\cdot 13$
$=250\,000+500\cdot 24+(10+1)(10+3)$
$=250\,000+500\cdot (20+4)+(10+1)(10+3)$
$=250\,000+500\cdot 20+500\cdot 4+10^2+10(1+3)+1\cdot 3$
$=250\,000+10\,000+2\,000+100+40+3$
$=262\,143$
$\diamond$
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