Ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los números reales, pero que sí la tienen en el conjunto de los números complejos

En el artículo anterior había comentado que la ecuación $1^x=2$ no tiene solución en el conjunto de los números reales. Sin embargo, sí que la tiene en el conjunto de los números complejos, tal y como voy a mostrar a continuación.

Notemos que, de acuerdo con la fórmula de Euler, $1=e^{2k\pi\,i} \, \forall\, k\in \mathbb{Z}$. Entonces, la ecuación planteada la podemos escribir de la forma $(e^{2k\pi\,i})^x=2$, esto es, $e^{2k\pi\,x\,i}=2$; así que, extrayendo logaritmos neperianos en ambos miembros, llegamos a $\ln\,\left( e^{2k\pi\,i\,x} \right)=\ln\,2$, de donde $2k\pi\,\,i\,x=\ln\,2$. Y, despejando $x$, se llega a $x=\dfrac{\ln\,2}{2k\pi\,i}=-\dfrac{i\,\ln\,2}{2k\pi}\,\forall,0\neq k\in \mathbb{Z}$; es decir, existe un número infinito de números complejos, con esa estructura, que forman la solución de la ecuación planteada. $\diamond$