Acerca de la existencia de la función inversa de una función cuadrática

¿Por qué se puede afirmar que la función cuadrática $f(x)=x^2\, \forall x\in \mathbb{R}$ no tiene función inversa?

Una función tiene función inversa si y sólo si es biyectiva; es decir, debe ser inyectiva y sobreyectiva. Si bien la función $x^2$ es sobreyectiva, entendiendo que su recorrido (conjunto de valores imagen) es la semirrecta de los números reales $[0,+\infty)$, no es sin embargo inyectiva, puesto que para un mismo valor de la variable dependiente encontramos dos valores distintos (salvo en el punto máximo/mínimo) de la variable independiente, un valor positivo y su opuesto; por consiguiente, dicha función cuadrática no es biyectiva, luego rigurosamente se puede afirmar que las funciones cuadráticas no tienen asociadas funciones inversas.

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Observación importante:
Para que la función cuadrática $f(x)=x^2$ tuviese inversa, deberíamos redefinir su dominio de existencia para que fuese inyectiva de tal manera que éste fuese o bien $[0,+\infty)$, y en tal caso la función recíproca asociada es $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$; o bien de tal modo que el dominio fuese $(-\infty,0]$, en cuyo caso la función recíproca sería entonces, $f^{-1}(x)=-\sqrt{x}$. Recordemos que el recorrido de la función raíz cuadrada es, por convenio, el conjunto de los números no negativos (1). Ésto permite afirmar que, por ejemplo, para $f(x)=4$, se tiene que su antiimagen, por (1), es $f^{-1}(4)=2$, ya que la imagen de $2$ es $2^2=4$.

Nótese que, si conviniésemos que el recorrido de la raíz cuadrada fuese el conjunto de los números no positivos —que no es lo habitual—, entonces diríamos que $f^{-1}(4)=-2$, ya que la imagen de $-2$, de acuerdo a este otro convenio (no usual), es también $4$, pues $(-2)^2=4$.

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