Parámetros de las funciones circulares (sinusoidales)

Una función sinusoidal (o circular) es una función del tipo $y=a\,\sin\,(b\,x+c) \quad (1)$, (o, lo que es lo mismo: $f(x)=a\,\sin\,b\,x+c)$), donde $|a|$ es la amplitud (expresada en las mismas unidades que $y$) y representa la altura (medida en el eje de ordenadas) entre un nodo y el máximo o el mínimo que está inmediatamente a la izquierda o a la derecha de dicho nodo.

Aquí, sin pérdida de generalidad, he elegido $x$ como la variable tiempo (expresado en segundos) para facilitar el hacernos una idea física más tangible, pero podría representar cualquier otra magnitud; así pues, reescribo la función de la forma $f(t)=a\,\sin\,(\omega\,t+\theta)$ o si se prefiere $y=a\,\sin\,(\omega\,t+\theta)$, por lo que $\omega$ es lo que llamamos pulsación (expresada en $\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$). Y, por lo que se refiere al parámetro $\theta$, éste representa el ángulo de fase (exprersado en $\text{rad}$).

Ejemplo:

Consideremos la función circular dependiente del tiempo $y=-\cos\,\dfrac{2\,\pi\,\,t}{3}$. Determinemos la amplitud, la pulsación, la frecuencia, el periodo, y el ángulo de fase de dicha función sinusoidal. Recordemos que la relación entre la pulsación $\omega$ y el periodo $T$ es $\omega=2\,\pi\,f=\dfrac{2\,\pi}{T}$. Recordemos también que la relación entre el periodo y la frecuencia es $T=\dfrac{1}{f}$, donde la frecuencia $f$ (número de ciclos por segundo) se expresa en $\text{s}^{-1}$ (o hertz, abreviado $\text{Hz}$).

Demos la forma apropiada, asemejándola a $(1)$, de manera que sea (equivalente) a la función propuesta, para identificar así el valor de los parámetros pedidos:
  $y=-\cos\,\dfrac{2\,\pi\,\,t}{3}=(-1)\cdot \sin\,\left(\dfrac{2\,\pi}{3}\,t+\dfrac{\pi}{2}\right)$ (la función coseno está desfasada $\pi/2$ con respecto de la función seno, teniendo la misma forma), luego $\theta=\dfrac{\pi}{2}\, \text{rad}$, $a=|-1|=1\,\text{u.a.y.}$ (unidades arbitrarias de $y$), $\omega=\dfrac{2\,\pi}{3}\,\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$; $T=\dfrac{2\,\pi}{2\,\pi/3}=3\,\text{s}$, $f=\dfrac{1}{3}\,\text{s}^{-1}$, es decir, $f=\dfrac{1}{3}\,\text{Hz}$.

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Comentario:
En la siguiente figura se muestra un trozo de la gráfica de la función, que se extiende, para $t$ de $-\infty$ a $+\infty$, a lo largo del eje de abscisas, repitiéndose el motivo periódico que se aprecia entre dos máximos consecutivos:

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Períodos de las funciones trigonométricas

ENUNCIADO. Averiguar el período de la función $f(x)=2\,\sin 5x$; el de la función $g(x)=3\cos\,5x$, y el de la función $h(x)=4\,\tan\,7x$

SOLUCIÓN. Recordemos que una función $\Phi(x)$ es periódica si existe un número real $T$ tal que para todo valor $x$ que tenga imagen por $\Phi$, se tiene que $\Phi(x+T)=\Phi(x)$.


I) Sabemos que la función seno es periódica y su período es $2\,\pi$ rad [1], luego $\sin\,5x = \sin\,(5x+2\,\pi) = \sin\,\left(5\,(x+\dfrac{2}{5}\,\pi)\right)=\sin\,(5\,x')$, donde $x'=x+\dfrac{2}{5}\,\pi$, por lo que el período de la función $\sin\,5x$ es $\dfrac{2}{5}\,\pi$ rad; y, por tanto, el período de la función pedida, $f(x)=2\,\sin\,5x$, también es $\dfrac{2}{5}\,\pi$ rad, pues la amplitud de la misma ( en este caso, el factor '$2$' ) no afecta al período de la misma.

II) Otra manera de determinar el período es la siguiente. La distancia entre tres ceros consecutivos de la función seno es igual al período; calculemos los tres primeros ceros (raíces ): $\sin 7x = 0 \Leftrightarrow 7x \in \{ 0\,,\,\pi/7\,,\,2\,\pi/7\}$, luego $T=|x_3-x_1|=|2\,\pi/7-0=2\,\pi/7$ rad

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Por lo que respecta a la función coseno pedida, tengamos en cuenta que el período de la función seno es el mismo que el de la función coseno [1], esto es, $\cos\,(x+2\pi)=\cos\,x$, y desde luego, tampoco le afecta la amplitud -- en el caso que nos ocupa es '3' -- por lo que el período de la función $g(x)=3\cos\,5x$ es, tambíen, $\dfrac{2}{5}\,\pi$ rad, razonando de manera análoga que en la pregunta anterior.

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Para terminar, discutamos cuál es el período de la función $h(x)=4\,\tan\,7x$. Sabemos que el perído de la función $\tan\,x$ es $\pi$ rad [1], esto es, $\tan\,x = \tan\,(x+\pi)$. Entonces, $\tan\,7x = \sin\,(7x+\pi) = \tan\,\left(7\,(x+\dfrac{1}{7}\,\pi)\right)=\tan\,(7\,x')$, donde $x'=x+\dfrac{1}{7}\,\pi$, por lo que el período de la función $\tan\,7x$ es $\dfrac{1}{7}\,\pi$ rad; y, por tanto, el período de la función, $h(x)=4\,\tan\,7x$, es $\dfrac{1}{7}\,\pi$ rad, pues la amplitud de la misma ( en este caso, el factor '$4$' ), como ya sabemos, no afecta al período de la misma.
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