Otro ejemplo en el que se determinan los valores enteros de una ecuación con términos exponenciales

Para profundizar un poco en lo que trataba en el ejercicio de la entrada precedente, con la resolución de este ejercicio, me propongo mostrar cómo calcular los valores enteros que forman parte de la soloución de la ecuación $$2^x=x^2$$

Procedo de la misma manera que en el ejercicio anterior:
  $2^x=x^2$
    $\ln\,2^x=\ln\,x^2$
      $x\,\ln\,2=2\,\ln\,x$
        $\dfrac{x\,\ln\,2}{(\ln\,x)\,(\ln\,2)}=\dfrac{2\,\ln\,x}{(\ln\,x)\,(\ln\,2)}$
          $\dfrac{x}{\ln\,x}=\dfrac{2}{\ln\,2}$
Es clar que de ahí se sigue que un valor entero de la solución es $x_1=2$; pero, ojo, porqué no es el único: en efecto, démonos cuenta de que $\dfrac{2}{\ln\,2}=\dfrac{2\cdot 2}{2\,\ln\,2}=\dfrac{2^2}{\ln\,2^2}=\dfrac{4}{4}$, luego el primer miembro de la última línea en el desarrollo de la ecuación, $\dfrac{x}{\ln\,x}$, también es igual a $\dfrac{4}{\ln\,4}$, en consecuencia, otro valor entero de la solución es $x_2=4$. Fácilmente se puede comprobar que no hay más números enteros que cumplan esta condición; desde luego, no pueden ser números negativos ni cero, puesto que el logaritmo no está definido para ellos; y, por otro lado, para otros enteros positivos ya se ve que $\dfrac{x}{\ln\,x}\neq \dfrac{n}{\ln\,n}\, \forall\, n\gt 4$. Así pues, los valores enteros de la solución de la ecuación pedida son $2$ y $4$.

-oOo-

Observación:
Como puede verse en la siguiente figura

las gráficas de las funciones de ambos miembros de la igualdad, $f(x)=2^x$ (en color azul) y $g(x)=x^2$ (en color naranja), muestran que hay tres valores, y no sólo dos (en el conjunto de los números reales) que constituyen la solución al completo de la ecuación (las gráficas se intersecan en tres puntos); dos de ellos, las abscisas de los puntos de intersección que son números enteros, los he encontrado fácilmente, sin embargo, el tercero, que es algo mayor que $-1$, es un número no entero, el cual no pretendo ahora determinarlo, por su mayor complicación.

$\diamond$