En la misma línea que el artículo precedente, vamos a resolver (en el conjunto de los números reales) la siguiente ecuación con términos irracionales: $$x+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=4$$
En primer lugar, teniendo en cuenta que intervienen raíces cuadradas en los términos algebraicos, tendremos en cuenta el dominio de definición de las mismas: del segundo término del primer miembro vemos que el valor de $x-1$ ha de ser mayor no negativo, esto es, $x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1$; en cuanto al segundo término, $x+1$ también ha de tomar valores no negativos, luego $x\ge -1$; y, por lo que se refiere al tercer término, es claro que sólo podremos aceptar los valores no negativos de la función $x^2-1$, es decir, los que sean menores o iguales que $-1$ y los que sean mayores o iguales que $1$. De todo ello, compatibilizando todos estos requerimientos, deducimos que $x\ge 1$, y por tanto en la solución estará compuesta por valores mayores o iguales que $1$.
Procedamos ahora a realizar las operaciones algebraicas que nos llevarán, poco a poco, a encontrar dicha solución. Sumando $-1$ en cada miembro:
$x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=4-1$
$x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=3$
$x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{(x-1)(x+1)}=3$
$x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1}=3 \quad (1)$
Sumando $1$ en cada miembro:
$x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=4+1$
$x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=5$
$x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{(x-1)\,(x+1)}=5$
$x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1}=5 \quad (2)$
Denotemos, por comodidad de manipulación algebraica: $u:=\sqrt{x-1}$ y $v:=\sqrt{x+1}$, con lo cual, $(1)$ y $(2)$ pueden escribirse de la forma:
$u^2+u+v+u\,v=3 \quad (1')$
$v^2+u+v+u\,v=5 \quad (2')$
Restando $(1')$ de $(2')$, miembro a miembro, obtenemos:
$v^2-u^2=5-3$, esto es,
$(v-u)\,(v+u)=2 \quad (3)$
Sumando $(1')$ y $(2')$, miembro a miembro, se llega a:
$v^2-u^2=5-3$, esto es,
$u^2+v^2+2u+2v+2u\,v=8$
lo que es lo mismo que
$(u+v)^2-2u\,v+2u+2v+2u\,v=8$
y simplificando,
$(u+v)^2+2(u+v)-8=0$
Resolviendo esta ecuación cuadrática en la variable $u+v$, con el propósito de hallar las raíces del polinomio del primer miembro y, a partir de las mismas factorizarlo, vemos que
$u+v=\dfrac{-2\pm \sqrt{4\cdot 1 \cdot (-8)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm 6}{2}=\left\{\begin{matrix}2\\ -4\end{matrix}\right.$
con lo cual $(u+v)^2+2(u+v)-8=0$ puede escribirse de la forma $(a+b-2)(a+b-(-4))=0 \quad (4)$ y, por tanto, deducimos que $a+b=2 \quad (4')$ ó (no necesariamente exlusivamente) $a+b=-4 \quad (4'')$
Sustituyendo $(4')$ en $(3)$, nos encontramos con que $2\,(v-u)=2$, es decir, $v-u=1$; y teniendo en cuenta qué es lo que denotan $v$ y $u$, podemos escribir:
$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=1$
$\sqrt{x+1}=1+\sqrt{x-1}$
$(\sqrt{x+1})^2=(1+\sqrt{x-1})^2$
$x+1=1^2+2\cdot 1 \cdot \sqrt{x-1}+(\sqrt{x-1})^2$
$x+1=1+2\,\sqrt{x-1}+x-1$
$1=2\,\sqrt{x-1}$
$\dfrac{1}{2}=\sqrt{x-1}$
$(\dfrac{1}{2})^2=(\sqrt{x-1})^2$
$\dfrac{1}{4}=x-1$
$\dfrac{1}{4}+1=x$
$x=\dfrac{5}{4}$, que, como puede verse, es mayor que $1$, tal como debe ser; ya tenemos pues un valor de la solución, $x=\dfrac{5}{4}$, pero podría haber más. Veámoslo:
Sustituyendo $(4'')$ en $(3)$, nos encontramos con que $-4\,(v-u)=2$, luego $v-u=-\dfrac{1}{2}$; y, como hemos hecho antes, teniendo en cuenta qué es lo que denotan $v$ y $u$:
$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=-\dfrac{1}{2}$
$\sqrt{x+1}=\sqrt{x-1}-\dfrac{1}{2}$
$(\sqrt{x+1})^2=(\sqrt{x-1}-\dfrac{1}{2})^2$
$x+1=(\sqrt{x-1})^2-2\cdot \dfrac{1}{2}\,\sqrt{x-1}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$
$x+1=x-1-\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{4}$
$2-\dfrac{1}{4}=-\sqrt{x-1}$
$\dfrac{7}{4}=-\sqrt{x-1}$, con lo cual $0 \le \sqrt{x-1}=-\dfrac{7}{4} \le 0$, luego ésto, que es lo que quedaba por hacer, vemos que no conduce a ningún otro valor de la solución.
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En conclusión: la solución de la ecuación original consta de un único valor: $\dfrac{5}{4}$. $\diamond$
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