Acerca de la función $\,^{n}x:=x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}};n\in\mathbb{N}$ y de las ecuaciones con exponenciaciones sucesivas

La función $\,^{n}x$ se define de la forma $$\,^{n}x:=x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}};n\in\mathbb{N}$$ vamos a resolver la siguiente ecuación, para $x$, números reales no negativos, $$\,^{3}x=\,^{2}x$$

Comencemos con los pasos algebraicos:
  $\,^{3}x=\,^{2}x$
    $x^{x{^x}}=x^x$
      $\ln(x^{x{^x}})=\ln(x^x)$
        $x^x\,\ln(x)=x\,\ln(x)$
          $x^x\,\ln(x)-x\,\ln(x)=0$
            $\ln(x)\cdot\left(x^x-x\right)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\ln(x)=0\Rightarrow x=1 & (1)\\ x^x-x=0 & (2)\end{matrix}\right.$

De $(1)$ ya tenemos un valor de la solución. Veámos ahora qué ocurre con $(2)$:
  $x^x-x=0$
    $x^x=x$
      $\ln(x^x)=\ln(x)$
        $x\,\ln(x)=\ln(x)$
          $x\,\ln(x)-ln(x)=0$
            $(x-1)\,\ln(x)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-1=0\Rightarrow x=1 \\ \ln(x)=0 \Rightarrow x=1\end{matrix}\right.$, resultado que ya se ha obtenido en $(1)$
Entonces, la solución de la ecuación propuesta consta de un sólo valor, que es $x=1$

La siguiente gráfica de las representaciones de las funciones de sendos miembros de la ecuación original ilustran esta solución (punto de intersección):

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Un breve cálculo con logaritmos

Se pide que calculemos el valor de $x$ que cumple la siguiente igualdad, prescindiendo del uso de la calculadora $$\dfrac{\ln(x)}{\ln(3)}=4$$

  $\dfrac{\ln(x)}{\ln(3)}=4$
    $\log_{3}(x)=4 \therefore x=3^4=81$
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Resolución de la ecuación $x!=x!!$

Recordemos que la factorial de un número entero no negativo se de define como $$x!:=x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot 1;\, 0!=1$$ También definimos la doble factorial de $x$ como $$x!!:=x\cdot (x-2)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot 1;\, 0!!=1$$ A modo de ejercicio, vamos a resolver ahora la ecuación $$x!=x!!$$

  $x!=x!!$
    $x\cdot (x-1)!=x\cdot (x-2)!!$
      $x\cdot (x-1)!-x\cdot (x-2)!!=0$
        $x\cdot \left[ (x-1)!- (x-2)!! \right]=0$
          $x\cdot \left[ (x-1)!!\cdot (x-2)!!- (x-2)!! \right]=0$
            $x\cdot (x-2)!! \cdot \left[ (x-1)!!-1 \right]=0 \overset{(x-2)!!\neq 0}{\Leftrightarrow} \left\{\begin{matrix}x=0 \\ (x-1)!!-1 =0 \Rightarrow (x-1)!!=1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=1\\ x=2 \end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

Así pues, la solución consta de esos tres valores: $\{0,1,2\}$
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$(-2)^x=2$

Vamos a encontrar la solución de la siguiente ecuación $$(-2)^x=2$$

Para empezar, y lo que vamos a decir es importante, observemos que, buscando entre el conjunto de los números reales, el dominio de definición de la función $f(x)=(-2)^x$ se reduce al conjunto de los números enteros; en efecto, podemos calcular sin problema la imagen (dentro del conjunto de los números racionales) de un número entero como, por ejemplo, $-3$: $f(-3)=(-2)^{-3}=(-2)^{3\cdot (-1)}=((-2)^{3})^{-1}=\dfrac{1}{(-2)^3}=\dfrac{1}{-8}=-\dfrac{1}{8}$, pero si intentamos calcular la imagen de un número decimal, vemos enseguida que no la tiene; para poner de relieve esto, pongamos por ejemplo que $x=1,1$, entonces si denotamos $t=(-2)^{1,1}$, la única manera de calcular dicho valor $t$ (es decir, el valor de la función en $x=1,1$) pasa por extraer logaritmos en cada miembro, para, a continuación, utilizar la propiedad recíproca que define el logaritmo: sacando logaritmos, $\ln(t)=\ln\,((-2)^{1,1})=1,1\cdot \ln(-2)$, pero ya sabemos que el logaritmo de un número negativo no está definido, luego la función $(-2)^x$ sólo está definida para números enteros; es decir, en ese sentido, es una función discreta, pues envía números enteros al conjuntos de los números racionales, que, en particular, pueden ser enteros; el recorrido de la función es el conjunto de los números racionales.

Es evidente que, habiendo visto que no podemos pensar en números reales que no sean los enteros (como números candidatos a la solución de la ecuación). Y, si observamos la tabla numérica de la función $f(x)=(-2)^x;x\in \mathbb{Z}$, elaborada para unos cuantos (suficientes) valores de $x\in \mathbb{Z}$, salta a la vista que la ecuación propuesta no tiene solución: no hay ningún número entero, positivo, negativo que satisfagan la igualdad a $2$, y tampoco el cero la satisface, ya que $(-2)^0=1\neq 2$

Como consecuencia de estos razonamientos, la solución no está, en definitiva, en el conjunto de los números reales, por lo que es claro que, de haberla, deberemos buscar entre los números complejos. Para ello, démonos cuenta de que: $(-2)^x=2$ puede escribirse de la forma $((-1)\cdot 2)^x=2$. Ahora bien, por la fórmula de Euler, $e^{i\,\alpha}=\cos(\alpha)+i\,\sin(\alpha); \alpha\in \mathbb{R}$, podemos escribir $-1$ de la forma $e^{i\,\pi}$ ya que $e^{i\,\pi}=\cos(\pi)+i\,\sin(\pi)=-1+i\cdot 0=-1$; y, de una manera más general: $-1=e^{i\,(2n-1)\,\pi};\,n\in \mathbb{N}$, ya que al ser $2n-1$ un número natural impar, $\cos((2n-1)\,\pi)=-1$ y $\sin((2n-1)\,\pi)=0$.

Entonces,
  $(-2)^x=2$
    $((-1)\cdot 2)^x=2$
      $(e^{i\,(2n-1)\,\pi}\cdot 2)^x=2$
        $(e^{i\,(2n-1)\,\pi})^x\cdot 2^x=2$
          $e^{i\,(2n-1)\,\pi\,x} \cdot 2^x=2$
            $\ln\left(e^{i\,(2n-1)\,\pi\,x} \cdot 2^x\right)=\ln(2)$
              $\ln\left(e^{i\,(2n-1)\,\pi\,x}\right)+\ln\left( 2^x\right)=\ln(2)$
                $i\,(2n-1)\,\pi\,\ln(e)\,x+x\,\ln\left( 2\right)=\ln(2)$
                  $i\,(2n-1)\,\pi\cdot 1 \,x+x\,\ln\left( 2\right)=\ln(2)$
                    $\left( i\,(2n-1)\,\pi+\ln\left( 2\right)\right)\,x=\ln(2)$
                      $x=\dfrac{\ln(2)}{\ln\left( 2\right)+i\,(2n-1)\,\pi};\,n=1,2,3,4,\ldots \quad (1)$

En conclusión: la solución consta de los infinitos valores de $(1)$ $$\displaystyle x=\{\dfrac{\ln(2)}{\ln\left( 2\right)+i\,\pi},\,\dfrac{\ln(2)}{\ln\left( 2\right)+i\,3\,\,\pi},\,\dfrac{\ln(2)}{\ln\left( 2\right)+i\,5\,\,\pi},\,\ldots \}$$ $\diamond$

¿De cuántas cifras consta un número entero positivo dado por $a^b$, siendo $a$ y $b$ números enteros positivos?

Tenemos hoy el siguiente problemas: ¿De cuántas cifras consta el número entero positivo $5^{26}$?

Bien, para empezar, démonos cuenta de que unúmero entero positivo, como, por ejemplo, $295$ podemos expresarlo de la forma $0,295 \cdot 10^3$; en cualquier caso, de tal modo que la primera cifra decimal sea distinta de cero: si el número entero pedido pongamos que tenga $n$ cifras, éste puede escribirse como $0,d_1\,d_2\,\ldots\,d_n \cdot 10^n$; de esta manera, el número entero que figura en el exponente de la potencia de base $10$ es igual al número de cifras de dicho número. Y podemos escribir tantos ejemplos como gustemos.

Ya tenemos pues una primera idea de la que partir: si cualquier un número entero positivo podemos expresarlo de la forma $m \cdot 10^n$, donde $m$ es un número decimal mayor que $0$ y menor que $1$, siendo su primera cifra decimal distinta de cero, $n$ es el número de cifras de dicho número entero positivo; entonces, en particular, un número entero positivo que venga dado como una potencia de base un número entero positivo, $a$, y exponente entero positivo, $b$, esto es $a^b$, también tendrá ese tipo de expresión, esto es: $$a^b=m\cdot 10^n \quad (1)$$

Así las cosas, si conseguimos calcular $n$ a partir de la igualdad $(1)$ habremos resuelto el problema. Para ello, lo primero que se nos puede ocurrir es tomar logaritmos decimales (en base $10$) en cada miembro, para así, preparar el despeje de $n$:
  $\log_{10}(a^b)=\log_{10}(m\cdot 10^n)$
    $b\,\log_{10}(a)=\log_{10}(m)+\log_{10}(10^n)$
      $b\,\log_{10}(a)=\log_{10}(m)+n\,\log_{10}(10)$
        $b\,\log_{10}(a)=\log_{10}(m)+n \cdot 1$
          $b\,\log_{10}(a)=\log_{10}(m)+n$
            $\therefore n=b\,\log_{10}(a)-\log_{10}(m)$
Ahora, tengamos en cuenta que si $0 \le m \lt 1$, y por tanto $-1\le \log_{10}(m)\lt 0$, se sigue de ésto que $0\lt -\log_{10}(m)\le 1$, por consiguiente $b\,\log_{10}(a) \lt n \lt b\,\log_{10}(a)+1$. Y como $n$ representa un número entero, reajustamos el término logarítmico $b\,\log_{10}(a)$ (que nos da un número con decimales), tomando el mayor entero que sea menor o igual que esta cantidad, esto es, le aplicamos a ese término la función suelo: $\lfloor b\,\log_{10}(a) \rfloor$, todo lo cual, y como conclusión, nos lleva a definir $$n:=\lfloor b\,\log_{10}(a) \rfloor +1 \quad (2)$$

Comprobemos que ésto funciona; por ejemplo, ¿cuántas cifras tiene el número $2^{10}$? Según lo deducido, $n=\lfloor 10\,\log_{10}(2) \rfloor +1=\lfloor 3,0102\ldots\rfloor +1 = 3+1=4$; y, en efecto, así es, pues sabemos (calculando la potencia directamente) que el número $2^{10}=1\,024$, y al contar sus cifras, vemos claramente que tiene $4$ cifras.

Ahora, apliquémoslo al problema propuesto, que recordemos que es el siguiente: ¿cuántas cifras tiene el número entero positivo $5^{26}$. En este caso, $a=5$ y $b=26$, por tanto, aplicando $(2)$ se obtiene $$n=\lfloor 26 \cdot \log_{10}(5) \rfloor +1=\lfloor 18,1732\ldots\rfloor +1 =18+1=19\,\text{cifras}$$ $\diamond$

Una ecuación con exponenciales

Se pide que resolvamos la siguiente ecuación: $$2^{3^x}=3^{2^x}$$

Tomando logaritmos en cada miembro:
  $\ln(2^{3^x})=\ln(3^{2^x})$
    $3^x\,\ln(2)=2^x\,\ln(3)$
      $\dfrac{3^x}{2^x}=\dfrac{\ln(3)}{\ln(2)}$
        $\left(\dfrac{3}{2}\right)^x=\dfrac{\ln(3)}{\ln(2)}$
Y volviendo a tomar logaritmos:
  $\ln\left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^x\right)=\ln\left(\dfrac{\ln(3)}{\ln(2)}\right)$
    $x\,\ln\left( \dfrac{3}{2} \right)=\ln\left( \dfrac{\ln(3)}{\ln(2)} \right)$
      $x=\dfrac{\ln\left( \dfrac{\ln(3)}{\ln(2)} \right)}{\ln\left( \dfrac{3}{2} \right)} \gt 0$
Nota:Rápidamente nos damos cuenta de que el valor encontrado es positivo, porqué tanto el numerador como el denominador son cantidades positivas. Y, con ayuda de la calculadora científica básica, puede comprobarse que $x\approx 1,1359$.
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Una ecuación con términos irracionales (con raíces)

Queremos encontrar la solución en $\mathbb{R}$ de la siguiente ecuación: $$x-x\,\sqrt{x}=-4$$

Antes de empezar con los pasos algebraicos, debemos darnos cuenta de que, para que $\sqrt{x}$ esté definida en el conjunto de los números reales, es necesario que $x\ge 0$; así pues, en la solución no caben números negativos, y, por otra parte, el cero, está claro que tampoco forma parte de la solución, pues si sustituimos $x$ por $0$ en la ecuación pedida obtenemos que $0-0=0\neq-4$. En definitiva, la solución que encontremos tiene que estar entre los números positivos. Dicho ésto, empecemos ahora con el álgebra:
  $x-x\,\sqrt{x}=-4$
    $x-x\,\sqrt{x}+4=0$, y denotando: $u=\sqrt{x}$, $u^2=x$, con lo cual:
      $u^2-u^2\,u+4=0$
        $u^2-u^3+4=0$
          $-u^3+u^2+4=0$
            $u^3-u^2-4=0$
              $u^3-u^2-8+4=0$ (paso clave)
                $(u^3-8)-(u^2-4)=0$
                  $(u^3-2^3)-(u^2-2^2)=0$, y empleando estas dos identidades: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ y $a^3-b^3=(a-b)(a^2+a\,b+b^2)$, podremos escribir lo anterior de la siguiente manera,
                    $(u-2)\,(u^2+2\,u+2^2)-(u-2)\,(u+2)=0$
                      $(u-2)\,\left(u^2+2\,u+2^2-(u+2)\right)=0$
                        $(u-2)\,\left(u^2+2\,u+4-u-2\right)=0$
                          $(u-2)\,\left(u^2+u+2\right)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u-2=0 \Rightarrow u=2 \overset{x=u^2}{\Rightarrow} x=2^2=4 \\ u^2+u+2=0\Rightarrow u=\dfrac{-1\pm \sqrt{-3}}{2} \notin \mathbb{R}\end{matrix}\right.$
Encontramos un sólo valor en la solución: $x=4$

Comprobación: Sustituyendo $x$ por $4$ en la ecuación pedida,
  $4-4\,\sqrt{4}\overset{?}{=}-4$. En efecto, el valor del primer miembro, $4-4\,\sqrt{4}=4-4\cdot 2=4-8=-4$ conincide con el valor del segundo miembro.

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$2^x+4^x=20$ ... ¿x?

Se nos pide que resolvamos la siguiente ecuación en el conjunto de los números rales $$2^x+4^x=20$$

  $2^x+4^x=20$
    $2^x+4^x-20=0$
     $2^x+(2^2)^x-20=0$
        $2^x+2^{2\,x}-20=0$
          $2^x+(2^{x})^2-20=0$
            $2^x\,\left(1+2^x\right)-20=0$ y denotando $u=2^x$ podemos escribir:
              $u\,(1+u)-20=0$
                $u+u^2-20=0$
                  $u^2+u-20=0$
                    $u=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-20)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm \sqrt{81}}{2}=\dfrac{-1\pm 9}{2}=\left\{\begin{matrix}4 \\ -5\end{matrix}\right.$
Entonces, para $u=4$ se tiene que $4=2^2=2^x \Rightarrow x=2$; y, para $u=-5$, $-5=2^x$, pero $2^x\gt 0 \forall x\in \mathbb{R}$, luego este segundo valor de $u$ no aporta nada a la solución. La solución es pues $x=2$. $\diamond$

Resolución de una ecuación típica de las que aparecen en la Olimpiada Matemática

Calculemos las solución reales y complejas de la ecuación $$x^3+x=30$$

Según el teorema fundamental del álgebra, al ser el grado de la ecuación pedida $3$, deberemos encontrar, considerando las multiplicidades, $3$ raíces complejas (incluidas, aquellas en las que su parte imaginaria es cero, esto es, las raíces reales):
  $x^3+x=30$
    $x^3+x-30=0$
      $x^3+x-27-3=0$ (paso clave)
        $x^3-27+x-3=0$
          $x^3-3^3+x-3=0$
            $(x^3-3^3)+(x-3)=0$
              $(x-3)(x^2+3x+3^2)+(x-3)=0$, por la identidad $a^3-b^3=(a-b)(a^2+a\,b+b^2)$
                $(x-3)\,( (x^2+3x+3^2)+ 1)=0$
                  $(x-3)\,( x^2+3x+9+ 1)=0$
                    $(x-3)\,( x^2+3x+10)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-3= 0 \Rightarrow x_1=3 \in \mathbb{R}\\ x^2+3x+10=0 \Rightarrow x_{2,3}=\dfrac{-3\pm i\,\sqrt{31}}{2} \in \mathbb{C}\end{matrix}\right.$
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Un problema de álgebra básica, muy típico de Olimpiada Matemática

Si $m+n=1 \quad (1)$ y $m^2+n^2=2 \quad (2)$, donde $m$ y $n$ son números racionales, ¿a qué es igual $m^8+n^8$, sin calcular préviamente $m$ y $n$?

A partir de la identidad $(m+n)^2=m^2+2\,m\,n+n^2$, podemos escribir:
  $m^2+n^2=(m+n)^2-2\,m\,n$
Y teniendo en cuenta $(1)$ y $(2)$,
    $2=1^2-2\,m\,n \Rightarrow m\,n=-\dfrac{1}{2} \quad (3)$

Por otra parte,
  $m^4+n^4=$
    $=(m^2+n^2)^2-2\,m^2\,n^2$
      $=(m^2+n^2)^2-2\,(m\,n)^2$
        $\overset{(2),(3)}{=}2^2-2\cdot (-\dfrac{1}{2})^2$
          $=4-2\cdot \dfrac{1}{4}$
            $=4-\dfrac{1}{2}$
              $=\dfrac{8}{2}-\dfrac{1}{2}$
                $=\dfrac{8-1}{2}$
                  $=\dfrac{7}{2} \quad (4)$

Y, apoyándonos en la misma idea:
  $m^8+n^8=$
    $=(m^4)^2+(n^4)^2$
      $=(m^4+n^4)^2-2\,m^4\,n^4$
        $=(m^4+n^4)^2-2\,(m\,n)^4$
          $\overset{(3),(4)}{=}(\dfrac{7}{2})^2-2\cdot (-\dfrac{1}{2})^4$
            $=\dfrac{49}{4}-2\cdot \dfrac{1}{16}$
              $=\dfrac{49}{4}-\dfrac{1}{8}$
                $=\dfrac{98}{8}-\dfrac{1}{8}$
                  $=\dfrac{97}{8}$

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Un problema de números enteros

Quiero exponer en esta entrada del blog la resolución de un problema de números enteros que bien puediera ser de los que alguna vez aparecen en una Olimpiada Matemática. Se trata de encontrar todas la parejas $(m,n)$ de números enteros tales que satisfagan la siguiente igualdad: $$m+m\,n+n=6$$

Pongámos lápiz a la obra:
  $m+m\,n+n=6$
    $m\,(1+n)+n=6$
      $m\,(1+n)+n+1=6+1$
        $m\,(1+n)+(1+n)=7$
          $(1+n)\,(1+m)=7$
            $(1+n)\,(1+m)=\left\{\begin{matrix}1\cdot 7 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}1+n=1 \Rightarrow n=0 \\ 1+m = 7 \Rightarrow m=6 \end{matrix}\right.\\ 7 \cdot 1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}1+n=7 \Rightarrow n=6 \\ 1+m=1 \Rightarrow m=0\end{matrix}\right.\\ (-1)\cdot (-7) \Rightarrow \left\{\begin{matrix}1+n=-1 \Rightarrow n=-2 \\ 1+m=-7 \Rightarrow m=-8\end{matrix}\right. \\ (-7)\cdot (-1) \Rightarrow \left\{\begin{matrix}1+n=-7 \Rightarrow n=-8 \\ 1+m=-1 \Rightarrow m=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$
En conclusión, las parejas de números enteros pedidos son: $$(m,n)=\{(0,6),(6,0),(-2,-8),(-8,-2)\}$$ $\diamond$

Refrescando las progresiones geométricas ...

Sin utilizar la calculadora, ¿a qué es igual $1+2+2^2+2^3+\ldots+2^6$?

Se pide la suma de los $7$ primeros términos de la progresión geométrica de razón $r=2$ y primer término $a_1=1$. Recordad (de cursos anteriores) que la suma de los $n$ primeros términos consecutivos es igual a $S_n=a_1\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$, en nuestro caso, por tanto, tenemos que $S_7=1\cdot \dfrac{2^7-1}{2-1}=2^7-1=128-1=127$

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Un problemilla con factoriales

Siendo $a$ y $b$ números enteros positivos, nos preguntamos a qué es igual $a+b$ y $a\cdot b$ sabiendo que $a!\cdot b!=10!$

Nota preliminar: Para calcular $a+b$ y $a\cdot b$ necesitamos conocer el valor de $a$ y $b$. Advirtamos, eso sí, que, salvo que $a$ o bien $b$ sean igual a $1$, $a!\cdot b!\neq (a\cdot b)!$, por lo que no debemos caer en el error de pensar que al factorizar $10$ de la forma $10=2\cdot 5$, entonces $a$ sea igual a $2$ y $b$ sea igual a $5$ o viceversa; evidentemente $2!\cdot 5!=2\cdot 120=240\neq (2\cdot 5)!)=10!$, y, $2! + 5!=2 + 120=122 \neq (2 + 5)!)=7!=5\,040$

Resolvamos ahora el problema:
Es claro que
  $10!=10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=$
    $(10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7) \cdot (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)$=
      $(10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7) \cdot 6!$=
        $((5\cdot 2) \cdot (3\cdot 3) \cdot (4\cdot 2) \cdot 7) \cdot 6!$=
          $((5\cdot 2) \cdot (3\cdot 3) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot 7) \cdot 6!$=
            $(1\cdot 2 \cdot 3\cdot (2\cdot 2) \cdot 5 \cdot (3\cdot 2) \cdot 7) \cdot 6!$=
              $(1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7) \cdot 6!$=
                $7! \cdot 6! \Rightarrow a=7\,\text{y}\,b=6\,,\,\text{o bien}\, a=6\,\text{y}\,b=7$
En cualquiera de los dos casos, $$a+b=6+7=7+6=13$$ y $$a\cdot b=6\cdot 7=7\cdot 6=42$$ $\diamond$

$m! + n! \neq (m + n)!$

Demostremos que la siguiente propiedad es falsa: $$m! + n! = (m + n)!$$

Bastará con encontrar un contraejemplo: Pongamos que $m=3$ y $n=2$, entonces $3! + 2!=6 + 2=8 \neq (3 + 2)!=5!=120$

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$m!\cdot n!\neq (m\cdot n)!$

Demostremos que la siguiente propiedad es falsa: $$m!\cdot n! = (m\cdot n)!$$

Bastará con encontrar un contraejemplo: Pongamos que $m=3$ y $n=2$, entonces $3!\cdot 2!=6\cdot 2=12 \neq (3\cdot 2)!=6!=720$

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Un ejercicio en el que deduciremos la fórmula de la suma de un número arbitrario de los primeros términos consecutivos de una sucesión que no es ni aritmética, ni geométrica ... ni cuadrática

Nos preguntamos cuánto vale la suma de los $100\,000$ primeros términos de la sucesión cuyo término general es $a_n=\dfrac{1}{n\,(n+1)}$, ¿y la suma de los infinitos términos?

Veamos qué términos se van formando a partir del término general, para $n=1,2,3,\ldots$. Sustituyendo en la expresión del mismo se obtienen: $$\dfrac{1}{1\cdot 2}\,,\, \dfrac{1}{2\cdot 3}\,,\, \dfrac{1}{3\cdot 4}\,,\,\,\ldots$$

Veamos ahora el valor de las sumas sucesivas (o sumas parciales):
  $S_1=\dfrac{1}{1\cdot 2}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1+1}$
    $S_2=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{2+1}$
      $S_3=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}=\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{3+1}$
        $S_4=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\dfrac{1}{4\cdot 5}=\dfrac{4}{5}=\dfrac{4}{4+1}$
          $\ldots$ Luego, para la $i$-ésima suma podemos inducir (hipótesis de inducción):
$$S_i=\dfrac{i}{i+1}\,,\quad i=1,2,3,\ldots \quad (1)$$

-oOo- Demostrémoslo, mediante el método de inducción, que, como ya sabéis, consta de los siguientes tres pasos:

1. Para $i=1$ es claro que se cumple ya que $S_1=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1\cdot 2}=a_1$
   
2. Formulamos la hipótesis de inducción: la fórmula $(1)$ es válida para $i=k$, luego $S_k=\dfrac{k}{k+1}$ donde $k$ es un entero positivo
   
3. Finalmente (y habremos terminado), demostremos que la fórmula inducida también es válida para $k+1$. En efecto,
       $S_{k+1}=S_{k}+\dfrac{k+1}{(k+1)\,((k+1)+1)}=\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{k+1}{k+2}=\dfrac{(k+1)^2}{(k+1)\,(k+2)}=\dfrac{k+1}{k+2}=\dfrac{k+1}{(k+1)+1}$   $\square$

-oOo-

Así pues la suma pedida de los $300$ primeros términos tiene el siguiente valor: $$S_{100\,000}\overset{(1)}{=}\dfrac{100\,000}{100\,000+1}=\dfrac{100\,000}{100\,001}\approx 0,9999900001$$

Comentario: Démonos cuenta de que los valores de las sumas consecutivas (parciales) van decreciendo monótonamente, aproximándose (aunque lentamente) a $1$; es más, puede afirmarse que dicha sucesión (de sumas sucesivas) converge a $1$, como puede comprobarse de manera inmediata calculando el límite: $\displaystyle \lim_{m\rightarrow \infty}\,\dfrac{k}{k+1}=\lim_{k\rightarrow \infty}\,\dfrac{\frac{k}{k}}{\frac{k}{k}+\frac{1}{k}}=\lim_{k\rightarrow \infty}\,\dfrac{1}{1+\frac{1}{k}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\infty}}=\dfrac{1}{1+0}=1$. Dicho de otra manera, la suma infinita $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,S_k$ es igual a $1$, esto es, $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,\dfrac{k}{k+1}=1$$

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Observación importante: Si reflexionamos un poco, vemos que, para que, en general, la sucesión de las sumas parciales sea convergente, es necesario que los términos de la sucesión $a_n$ converja a $0$. Podemos comprobarlo para la sucesión que nos ocupa, calculando el límite $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\, a_n$; y así es, en efecto: $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\,\dfrac{1}{n\,(n+1)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\,\dfrac{1}{n^2+n}=0$ ya que el polinomio del denominador, $n^2+n$, es de grado superior al del numerador. Sin embargo, tal condición no es suficiente para que la sucesión de las sumas parciales converja, ya que bien pudiera ser (en otras sucesiones) que, a pesar de tender a $0$ los términos de la sucesión, no convergiese la sucesión de las sumas parciales, como es el caso de la sucesión $b_n=\dfrac{1}{n}$: si bien es claro que $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\,\dfrac{1}{n}=0$, la suma de sus términos $\displaystyle \sum_{k\rightarrow \infty}\,\dfrac{1}{k}$, llamada serie armónica, y aunque probarlo de manera rigurosa no es sencillo, que sepáis que diverge. Si os entretenéis a calcular las sumas parciales sucesivas (os sugiero que utilizéis la hoja de cálculo), os daréis cuenta rápidamente de que esta sucesión (de las sumas parciales) no deja de crecer, aunque muy lentamente para los términos avanzados; sus términos van tomando valores cada vez más grandes: $1$, $1+1/2=1,5$, $1+1/2+1/3 = 11/6 \approx 1,83$, $\ldots$.

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Una ecuación en la que interviene una progresión aritmética

Se pide que resolvamos la siguiente ecuación $$1+3+5+7+9+\ldots+k=121$$ donde $k$ es un número entero positivo.

El primer miembro de la igualdad corresponde a la suma de un cierto número de términos de una progresión aritmética de diferencia $d=2$, y primer término igual a $1$, por lo tanto sabemos que dicha suma viene dada por $\dfrac{a_1+k}{2}\cdot n$, siendo $n$ el número de términos de la suma, y $a_1$ el valor del primer término de la suma, que es igual a $1$, luego podemos escribir la ecuación pedida de la forma $$\dfrac{1+k}{2}\cdot n =121 \quad (1)$$.

Para calcular el número de términos, $n$, de la progresión, recurrimos a la expresión del $n-ésimo$ término, cuyo valor es igual a $k$: $$k=a_1+(n-1)\cdot d$$ esto es $k=1+(n-1)\cdot 2$ y, por tanto, $n=\dfrac{k-1}{2}+1 \quad (2)$

Entonces, sustituyendo $(2)$ en $(1)$:
  $\dfrac{1+k}{2}\cdot \left( \dfrac{k-1}{2}+1\right)=121$
    $\dfrac{1+k}{2}\cdot \left( \dfrac{1+k}{2}\right)=121$
      $\dfrac{(1+k)^2}{2^2}=121$
        $(1+k)^2=121\cdot 2^2$
          $(1+k)^2=121\cdot 4$
            $(1+k)^2=484$
              $1+k = \sqrt{484}$
                $1+k = 22$
                  $k = 22-1$
                    $k = 21$
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Una ecuación en la que aparece la suma de una progresión geométrica

Consideremos la siguiente ecuación $$1+5+5^2+5^3+\ldots+5^k=3096$$ donde $k$ es un número entero positivo, cuyo valor se pide que calculemos:

El primer miembro de la igualdad corresponde a la suma de $k+1$ términos de una progresión geométrica de razón $r=5$ y cuyo primer término es $a_1=1$, por lo tanto sabemos que dicha suma viene dada por $a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$, siendo $n$ el número de términos de la suma, que, en nuestro caso es igual a $k+1$, luego la ecuación pedida puede escribirse de la forma $$1\cdot \dfrac{5^{k+1}-1}{5-1}=3\,096$$

Simplificándola nos queda:
  $5^{k+1}=3\,096 \cdot 4 +1$
    $5^{k+1}=3\,096 \cdot 4 +1$
      $5^{k+1}=15\,625$
Para despejar la incógnita, $k$, extraigamos logaritmos en cada miembro:
  $\ln\left(5^{k+1}\right)=\ln(15\,625)$
    $(k+1)\,\ln(5)=\ln(15\,625)$
      $k+1=\dfrac{\ln(15\,625)}{\ln(5)}$
        $k=\dfrac{\ln(15\,625)}{\ln(5)}-1$
          $k=5$
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Un interesante problema con números enteros positivos

Un bonito problema que apareció en una Olimpiada Matemática es el siguiente:
  Encontrar las ternas de números enteros positivos $a,b,c$ que cumple la siguiente igualdad $$3^a+3^b+3^c=387$$ Veamos cómo puede resolverse:

Empecemos suponiendo, sin pérdida de generalidad, que $a\ge b \ge c\quad (1)$, con lo cual $3^a \ge 3^b \ge 3^c$, con lo cual
  $3^a+3^b+3^c=387$ puede expresarse de la siguiente manera:
  $3^c\cdot (3^{a-c}+3^{b-c}+1)=387$
Por otra parte, $387= 3^3\cdot 31$, por tanto lo anterior puede escribirse como
  $3^c\cdot (3^{a-c}+3^{b-c}+1)=3^3\cdot 31 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}3^c=3^3 \Rightarrow c=3 & (2) \\ 3^{a-c}+3^{b-c}+1=31 & (3)\end{matrix}\right.$
Simplificando $(3)$,   $3^{a-c}+3^{b-c}=30=3\cdot 10$
Y teniendo en cuenta $(1)$, $3^{a-c} \ge 3^{b-c}$, con lo cual la igualdad anterior puede escribirse como
  $3^{b-c}\cdot \left(3^{(a-c)-(b-c)}+1\right)=3\cdot 10$
    $3^{b-c}\cdot \left( 3^{a-b}+1\right)=3\cdot 10 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}3^{b-c}=3 \Rightarrow b-c=1 \overset{(2)}{\Rightarrow} b=4 & (4)\\ 3^{a-b}+1=10 & (5)\end{matrix}\right.$
Y de $(5)$,
  $3^{a-b}=9=3^2 \Rightarrow a-b=2 \overset{(4)}{=} a=6$
Así pues, la terna que se obtiene es $(a,b,c)=(6,4,3)$. Pero, como la suposición $(1)$ sólo nos ha servido para encontrar ésta, podríamos repetir todo lo anterior permutando los elementos de dicha desigualdad por lo que, además de $(6,4,3)$ son también solución las ternas que resultan de permutar los valores obtenidos: $(6,3,4)$, $(4,3,6)$, $(4,6,3)$, $(3,4,6)$ y $(3,6,4)$.

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Identidades notables

¿Es cierta la siguiente identidad? Esto es, ¿esta igualdad algebraica es válida para cualquier valor de $a$ y de $b$? $$a^5+b^5 = (a + b) (a^4 - a^3\, b + a^2\, b^2 - a\, b^3 + b^4)$$

Veámoslo multiplicando los dos factores del segundo miembro; si es cierta, el resultado ha de ser igual a la expresión del primer miembro:
  $(a + b) (a^4 - a^3\, b + a^2 \,b^2 - a \,b^3 + b^4)=$
    $a \cdot (a^4 - a^3 \,b + a^2 \, b^2 - a\, b^3 + b^4) + b\cdot (a^4 - a^3 \,b + a^2 \,b^2 - a\, b^3 + b^4)=$
      $a^5 - a^4 b + a^3 \,b^2 - a^2 \, b^3 + a\,b^4 + a^4\,b - a^3\, b^2 + a^2\, b^3 - a\, b^4 + b^5=$
        $a^5 + (a^4 b - a^4\,b) + (a^3\, b^2 - a^3\, b^2) + (a^2\, b^3-a^2\, b^3) + (a\,b^4 - a\,b^4) + b^5=$
          $a^5 + 0+0+0+0 + b^5=$
            $a^5 + b^5$
La identidad propuesta es, por tanto, cierta.

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Nota: Es fácil probar (de manera parecida) que la siguiente identidad también es cierta: $$a^5 - b^5 = (a - b) (a^4 + a^3\, b + a^2\, b^2 + a\, b^3 + b^4)$$

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Importante: Os aconsejo que recordéis estas otras identidades, muy sencillas, y muy útiles a la hora de resolver determinadas ecuaciones (realizando transformaciones convenientes), efectuar simplificaciones, y, también, para facilitar algunos cálculos numéricos, lo cual conviene a veces tenerlas en cuenta para realizarlos de manera eficiente:
Siendo $a,b\in \mathbb{R}$, se tiene:

1. $(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2$
2. $(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2$
3. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
4. $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2\,(a\,b+b\,c+a\,c)$
   
5. $(a+b)^3=a^3+ 3a^{2}b + 3ab^2+b^3$
6. $(a-b)^3=a^3- 3a^{2}b + 3ab^2-b^3$
7. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
   
8. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
   

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Cálculo de raíces de un polinomio, empleando (si se tercia) identidades para factorizarlo

A modo de ejemplo, voy a calcular las ráices reales y complejas del polinomio $P(x)=x^3+27$

Para encontrar las raíces de un polinomio debemos imponer la definición de ráiz de un polinomio: $P(x)=0$. Entonces,
  $x^3+27=0$
    $x^3+3^3=0$
A continuación, para factorizar el primer miembro, utilizaré la identidad $$a^3\pm b^3=(a\pm b)\,(a^2\mp a\,b+b^2)$$
con lo cual, el último paso puede expresarse de la forma
    $(x+3)\cdot (x^2-3x+3^2)=0$
      $(x+3)(x^2-3x+9)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3=0 \\ x^2-3x+9 =0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}-3 \\ \\ \\ \dfrac{-(3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot 9}}{2\cdot 1}= \newline\quad \quad \quad =\dfrac{3\pm 3 \,\sqrt{3}\,i}{2} = \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\,i \end{matrix}\right.$

El conjunto de ráices de $P(x)$ es pues $$\{ -3\in \mathbb{R}\,,\, \left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\,i\right) \in \mathbb{C} \,,\, \left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\,i\right) \in \mathbb{C}\}$$

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Otra ecuación interesante en cuanto a la técnica idónea para resolverla

Una ecuación del tipo $x^x=x^2$, donde $x$ es una variable real, aunque quizás asuste un poco, no ofrece ninguna dificultad para encontrar la solución por tanteo; a poco que ensayemos, vemos que $3$ y $1$ satisfacen la igualdad: $1^1=1^3=1$ y lo mismo ocurre con $x=3$, pues tanto el primer miembro como el segundo dan como resultado $3^3=27$.

Bien, ¿pero habrá más valores que no podamos encontrar con tanta facilidad, digamos que 'a ojo de buen cubero'? Podríamos responder a esta pregunta con un 'no', pues si atendemos al trazo de las gráficas de las funciones de ambos miembros $y=x^x$ e $y=x^2$, la intersección de las mismas no se da en más de dos puntos, tal como se muestra en la siguiente figura. Ni $0$ ni ningún valor negativo corresponden a abscisas de puntos de intersección de los trazos.

Además, alternativamaente, si no se quiere recurrir al recurso de las gráficas, puede comprobarse que para valores negativos de $x$ el primer miembro es negativo, mientras que el segundo es positivo; y, para el valor $0$ de $x$, a pesar de que para el primer miembro se obtiene una indeterminación $0^0$, ésta se resuelve al tener en cuenta que $x^x$ es una función continua y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,x^x=1$ (puede comprobarse elaborando una tabla numérica con una hoja de cálculo), con lo cual, $(x^x)_{x=0}=1$, mientras que el valor del segundo miembro toma un valor distinto: $(x^2)_{x=0}=0^2=0\neq 1$.

No obstante, voy a resolver la ecuación empleando las técnicas del álgebra, pues me parece, que, para el caso que nos ocupa, es bastante interesante tomarnos la molestia de comprobar los valores de la solución de los que hemos hablado, y para otros casos en los que no sea tan fácil ver la solución tan 'alegremente', es evidente que no podremos prescindir de ello.

Recordemos que estamos buscando valores positivos de $x$. Para ello, una buena idea para empezar es extraer logaritmos en cada miembro de la igualdad:
  $x^x=x^2$
    $\ln(x^x)=\ln(x^2)$
      $x\,\ln(x)=2\,\ln(x)$
        $x\,\ln(x)-2\,\ln(x)=0$
          $(x-2)\cdot \ln(x)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-2=0 \\ \ln(x)=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix}\right.$

En conclusión: la solución de la ecuación pedida $x^x=x^2$ consta de los siguientes valores: $\{1,2\}$

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Un problema de Olimpiada Matemática sobre números enteros positivos

En este artículo quiero mostrar la resolución de la ecuación $m+2\,m\,n+n=22$, donde $m$ y $n$ son números enteros positivos. No se trata de un ejercicio al uso en un curso estándar de bachillerato; en realidad, corresponde a un problema aparecido en alguna edición de la Olimpiada Matemática, pero creo que bien merece atención, por el valor formativo y por la estética del planteamiento, tal como enseguida veremos. Como idea general, en cuanto al enfoque de la resolución, se trata de factorizar la expresión algebraica que, toda vez transformada la ecuación convenientemente, permitirá razonar acerca de las posibilidades para obtener la cantidad el segundo miembro.

De entrada, no parece que el primer miembro se brinde de manera directa a la factorización que se persigue, por lo que vamos a multiplicar por $2$ ambos miembros, para que el tercer término del primer miembro sea más propicio a poder realizar la factorización de la que estamos hablando:
  $m+2\,m\,n+n=22$
    $2\,(m+2\,m\,n+n)=2\cdot 22$
      $2\,(m+2\,m\,n)+2\,n=44$
        $2\,m\,(1+2\,n)+2\,n=44$
Convendría ahora poder extraer factor común de $1+2\,n$, pero, para ello, nos falta un $1$ en el primer miembro, por lo que vamos a sumar $1$ a cada miembro; así, tenemos casi preparada la ecuación equivalente que se va a prestar a la factorización del primer miembro:
        $2\,m\,(1+2\,n)+2\,n+1=44+1$
          $2\,m\,(1+2\,n)+(1+2\,n)=45$
Ahora, ya sí, podemos realizar la factorización:
          $(2\,m+1)\,(1+2\,n)=45$
Notemos ahora que la cantidad del segundo miembro, expresada como producto de factores primos, es $45=3\cdot \cdot 5$; pero, como en el primer miembro tenemos dos factores algebraicos, nos interesa escribirla como producto de dos (y no de tres) factores, los cuales pueden ser: $1\cdot 45$, $45\cdot 1$, $3\cdot 15$, $15\cdot 3$, $9\cdot 5$ y $5 \cdot 9$

Por otra parte, si nos fijamos bien en las expresiones de la factorización del primer miembro, y teniendo en cuenta que $m$ y $n$ han de ser números enteros positivos, com el número entero positivo más pequeño es $1$ resulta que tanto $2\,m+1$ como $2\,n+1$ han de ser mayores o iguales que $2\cdot 1+1=3$, por lo que las dos primeras posibilidades, $1\cdot 45=45$ y $45\cdot 1=45$, debemos descartarlas por la inviabilidad de ese factor $1$. Entonces, sólo nos queda investigar las cuatro últimas posibilidades:

• Para la tercera posibilidad, $3\cdot 15=45$, tenemos que $2\,m+1=3$, luego $m=1$; y $2\,n+1=15$, por lo que $n=7$. Ya tenemos una parte de la solución: $(m,n)=(1,7)$
• Para la cuarta posibilidad, $15\cdot 2=45$, tenemos que $2\,m+1=15$, y por tanto $m=7$; y $2\,n+1=3$, por lo que $n=1$. Tenemos otro elemento de la solución: $(m,n)=(7,1)$
• Para la quinta posibilidad, $9\cdot 5=45$, se tiene que $2\,m+1=9$, es decir $m=4$; y $2\,n+1=5$, por lo que $n=2$, así que otro elemento de la solución: $(m,n)=(4,2)$
• Y, para la sexta posiblidad, $5\cdot 9=45$, se tiene que $2\,m+1=5$, en consecuencia $m=2$; y $2\,n+1=9$, por lo que $n=4$, así que el último elemento de la solución es $(m,n)=(2,4)$

Resumiendo, la solución viene dada por el siguiente conjunto de parejas $(m,n)$ de números enteros positivos: $$\displaystyle \left\{(1,7),(7,1),(4,2),(2,4)\right\}$$

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El uso de identidades puede facilitar la factorización de polinomios, para, por ejemplo, resolver una ecuación algebraica

He encontrado esta interesante ecucació $$x^4=(x-1)^4$$ Voy a resolverla en el conjunto de los números complejos

  $x^4=(x-1)^4$
    $x^4-(x-1)^4=0$
      $(x^2)^2-((x-1)^2)^2=0$
        $(x^2-(x-1)^2))(x^2+(x-1)^2))=0$
          $(x^2-(x^2-2x+1))(x^2+(x^2-2x+1))=0$
            $(x^2-x^2+2x-1)(x^2+x^2-2x+1)=0$ (aquí hago uso de la identidad $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$)
              $(2x-1)(2\,x^2-2x+1)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x-1=0 & (1) \\ x^2-2x+1=0 & (2)\end{matrix}\right.$

1. De $(1)$ se obtiene $x=\dfrac{1}{2}$
2. Y, de $(2)$, $x=\dfrac{1}{2}\\ 2\,x^2-2x+1 = 0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2}=\dfrac{2\pm \sqrt{-4}}{4}=$
             $=\dfrac{2\pm \sqrt{ 4\cdot (-1)}}{4}=\dfrac{2 \pm \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}}{4}=\dfrac{2 \pm 2\cdot i}{4}=\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{1}{2}\,i$

La solución está formada pues por dos valores complejos, $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\,i$ y $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\,i$, y un valor real, $\dfrac{1}{2}$. No ha de sorprendernos que obtengamos tres valores en la solución, y no cuatro, pues, en realidad, el polinomio $x^4-(x-1)^4$ es de tercer grado, ya que los términos de grado cuatro se anulan. $\diamond$

Cálculo de funciones derivadas

Derívese la función $y=(2^{x})^x$

$y=(2^{x})^x=2^{x\cdot x}=2^{x^2}=\left(e^{\ln(2)}\right)^{x^2}=e^{x^2\cdot \ln(2)} \therefore $
  $ \therefore y'=e^{x^2\cdot \ln(2)} \cdot (x^2\cdot \ln(2))'=2\,\ln(2)\cdot x\cdot e^{x^2\cdot \ln(2)} = 2\,\ln(2)\cdot x\cdot 2^{x^2} = 2\,\ln(2)\cdot x\cdot (2^{x})^x =$
    $= \ln(2^2)\cdot x\cdot (2^{x})^x = \ln(4)\cdot x\cdot (2^{x})^x $
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Cuidado con las potencias sucesivas a la hora de derivar

Derívese la función $y=2^{x^{0^{x}}}$, siendo $x\neq 0$

Como en la expresión de las sucesivas potencias que definen esta función no hay paréntesis que alteren la prioridad de las mismas, hay que ir atendiendo en primer lugar, y como es bien sabido (por las propiedades elementales), las potencias más externas (las que van apareciendo más arriba, actualizando la expresión que vaya quedando):
  $y=2^{x^{0^{x}}}=2^{x^0}$, ya que, al ser $x\neq 0$, $0^x=0$
    Por tanto, tenemos $y=2^{x^{0^{x}}}=2^{x^0}$
    Y como al ser $x\neq 0$, $x^0=1$, se tiene que $y=2^{x^{0^{x}}}=2^{x^0}=2^1=2=\text{constante}$
Por consiguiente, como la derivada de una función constante (no experimenta variación alguna) es, lógicamente, la función nula, concluimos que $y'=0$
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Un ejercicio de derivación entretenido

Derívese la función $y=x^{x^{x}}$

  $y=x^{x^{x}}$
    $\ln(y)=\ln\left(x^{x^{x}}\right)$
      $\ln(y)=x^x\,\ln(x)$
        $(\ln(y))'_x=(x^x\,\ln(x))'$
          $(\ln(y))'_y\cdot y'=(x^x\,\ln(x))'$
            $\dfrac{1}{y}\,y'=(x^x\,\ln(x))'$
              $\dfrac{1}{y}\,y'=(x^x)'\,\ln(x)+x^x\,(\ln(x))'$
En esta otra entrada del blog he calculado la derivada de $x^x$, que es igual a $(x^x)'=x^x\,(1+\ln(x))$; por otra parte, $(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$, con lo cual, la línea anterior queda:
              $\dfrac{1}{y}\,y'=x^x\,(1+\ln(x))\cdot\ln(x)+x^x\cdot \dfrac{1}{x}$
                $\dfrac{1}{y}\,y'=x^x\,\left((1+\ln(x))\cdot\ln(x)+\dfrac{1}{x}\right)$
                  $y'=x^{x^{x}}\cdot x^x\cdot \left((1+\ln(x))\cdot\ln(x)+\dfrac{1}{x}\right)$
                    $\displaystyle y'=x^{x^x+x}\cdot \dfrac{1}{x}\cdot \left(x\cdot \left(1+\ln(x)\right)\cdot\ln(x)+1\right)$
                      $\displaystyle y'=x^{x^x+x}\cdot x^{-1}\cdot \left(x\,\left(1+\ln(x)\right)\cdot\ln(x)+1\right)$
                        $\displaystyle y'=x^{x^x+x-1}\cdot \left(x\,\ln(x)+x\,\ln(x)\cdot \ln(x)+1\right)$
                          $\displaystyle y'=x^{x^x+x-1}\cdot \left(\ln(x^x)+\ln(x)\cdot \ln(x^x)+1\right)$
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Derivada de $k^x$, siendo $0\lt k\neq e$

Derívese la función $f(x)=k^x$

En primer lugar, hagamos algunos arreglos, que, como vamos a ver enseguida, son convenientes para poder utilizar la regla de derivación adecuada:
  $f(x)=k^x=(e^{\ln(k)})^x=e^{x\,\ln(k)}$
De ahí, por las reglas de derivación de la función exponencial e base $e$ y de la cadena (derivada de una función compuesta): Dada $f(x)=e^{u(x)}$, su función derivada es $f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x)$; como $u(x)=x\,\ln(k)$, tendremos pues que
    $f'(x)=(x\,\ln(k))'\cdot e^{x\,\ln(k)}=\ln(k)\cdot e^{x\,\ln(k)}=\ln(k)\cdot k^x$
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Un ejemplo de derivación de una función compuesta

Se pide calcular la derivada de la función $\displaystyle f(x)=e^{\sin(x^3+\cos(x))}$

Denotemos $v(x)=x^3+\cos(x)$ y $u(v)=\sin(v)$, esclareciendo así la siguiente función compuesta: $f(x)=e^{u(v(x))}$

Por tanto, por la regla de la cadena se tiene que $\displaystyle f'_x=f'_u\,u'_v\,v'_x \quad (1)$, y siendo $f'_u=e^u$, $u'_v=\cos(v)$ y $v'_x=3x^2-\sin(x)$, aplicando $(1)$, se llega a $f'(x)=e^{\sin(x^3+\cos(x))}\cdot \cos(x^3-\sin(x))\cdot (3x^2-\sin(x))$

$\diamond$