Jugando al dominó con probabilidades

ENUNCIADO. Considérese un juego de dominó [ 28 fichas, cada una de las cuales tiene un par de números, del $0$ al $7$, iguales o distintos ]. Un jugador elige $7$ fichas al azar, y la vez. Se pide:
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que entre las siete fichas haya exactamente cinco que tengan un '3' ?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de obtener exactamente cinco fichas con un mismo número ?

SOLUCIÓN.
Las $28$ fichas tienen la misma probabilidad de ser elegidas; utilizaremos, pues, la regla de Laplace. Emplearemos el método combinatorio para calcular el número de casos favorables y el número de casos posibles.

a) Denotemos por $A_3$ al suceso pedido, entonces $$P(A_3)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A_3)}{N}$$ El número de casos en total, esto es el número de maneras de elegir un conjunto
de $7$ fichas a la vez de un total de $28$, $N$, es igual a $\binom{28}{7}=1\,184\,040$

Vamos a calcular ahora el número de casos favorables $N(A_3)$. Como hay $\binom{7}{5}$ maneras de elegir $5$ fichas que tengan un '3' ( ya que hay $7$ fichas que tengan un '3' ) y, por tanto, $\binom{28-7}{2}$ maneras de elegir las dos fichas restantes ( al haber $28-7$ fichas que no tengan el '3' ), llegamos a, por el principio multiplicativo, $$N(A_3)=\dfrac{\binom{7}{5}\cdot \binom{28-7}{7-5}}{\binom{28}{7}}=\dfrac{4\,410}{1\,184\,040}=\dfrac{49}{13\,156}\approx 0,0037$$

OBSERVACIÓN. La expresión obtenida corresponde a la probabilidad del modelo llamado hipergeométrico

b)
Ahora nos interesamos no sólo por que salga un '3', sino también por que salga también cualquiera de los otros seis números. Podemos repetir lo que acabamos de hacer para calcular la probabilidad de que entre las siete fichas haya exactamente cinco que tengan cualquiera de los otros seis números, por lo que resulta evidente que $P(A_0)=P(A_1)=\ldots=P(A_6)=\dfrac{49}{13\,156}$, luego la probabilidad pedida en este segundo apartado es $P(A_0 \cup \ldots \cup A_6)$, y siendo dichos sucesos incompatibles (1), resulta ser igual a $P(A_0)+\ldots+P(A_6)=7\cdot P(A_3)$ esto es $$7\cdot \dfrac{49}{13\,156}=\dfrac{343}{13\,156}\approx 0,0261$$

ACLARACIÓN 1: Para pensar con claridad, tengamos en cuenta que las $28$ fichas son las siguientes

06 
05  16
04  15  26
03  14  25  36
02  13  24  35  46  
01  12  23  34  45  56
00  11  22  33  44  55 66

Así que no es posible que los sucesos $A_i$ y $A_j$ ( donde $i$ y $j$ toman valores en $\{0,1,2,\ldots,6\}$ ) sean compatibles, ya que, por ejemplo, si $(i,j)=(3,4)$, fijado $i=3$ hay otras $6$ fichas que contienen el '3': $(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(3,6)$ ; y, fijado $j=4$, hay otras $6$ fichas que contienen el '4': $(0,4),(1,4),(1,4),(4,4),(5,4),(6,4)$. Si pensamos en la posibilidad de tener cinco fichas con el '3' y con el '4', vemos que es imposible, habida cuenta que sólo disponemos de $7$ fichas, y sólo una, la $(3,4)$ contiene el '3' y el '4'. Lo mismo ocurre con los otros pares de números. Así que $A_i \cap A_j = \emptyset$, luego $P(A_i \cap A_j)=0$ para todo $i$ y todo $j$ ( con $i \neq j$ ) en $\{0,1,2,\ldots,6\}$, esto es, los sucesos $A_i$ y $A_j$ con $i \neq j$ son incompatibles.


$\square$

Repartiendo cartas

ENUNCIADO. Consideremos una baraja española. Se dan seis cartas a un jugador. ¿ Cuál es la probabilidad de que las seis cartas sean del mismo palo ?.

SOLUCIÓN. Todas las cartas tienen la misma probabilidad de ser elegidas, por lo que podemos aplicar la regla de Laplace. Emplearemos el método combinatorio.

Denotemos por $A$, el suceso "obtener seis cartas de alguno de los cuatro palos". Procedemos a calcular el número de casos favorables $N(A)$ a dicho suceso, así como el número total de maneras de elegir seis cartas, $N$, de entre las $40$ cartas que tiene la baraja.

El número de maneras de elegir seis cartas del primer palo, o del segundo, o del tercero, o bien del cuarto palo, podemos calcularlo de la siguiente forma: Como hay $\binom{4}{1}$ maneras de elegir un determinado palo y $\binom{10}{6}$ maneras de elegir seis cartas de uno de dichos cuatro palos, entonces $N(A)=\binom{4}{1}\cdot \binom{10}{6}=840$ casos favorables a dicho suceso. Por otra parte, el número total, $N$, de maneras de dar seis cartas es $\binom{40}{6}=3\,838\,380$

Entonces, por la regla de Laplace, $$P(A)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A)}{N}=\dfrac{840}{3\,838\,380} \approx 0,00022 = 0,022\,\%$$

$\square$

Derivada de una suma de funciones

Función derivada de una suma de funciones derivables

Consideremos la función $\displaystyle f(x)=g(x)+h(x)$. De la definición de derivada $\displaystyle y'_{x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ podemos escribir $\displaystyle f'_{x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta (g(x)+h(x))}{\Delta x}$ y, por la propiedad aditiva del límit, queda
$\displaystyle f'_{x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta g(x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta h(x)}{\Delta x}$
es decir
$\displaystyle f'(x)=g'(x)+h'(x)$

Ejemplo:
Dada la función $f(x)=x^3+x^2$, su derivada es $\big(x^3\big)^{'}+\big(x^2\big)^{'}=3\,x^2+2\,x$

$\square$

Derivada de un término potencial

Derivada de un término polinómico

Sea la función $f(x)=x^n$ donde $n$ representa un número natural. Nos proponemos encontrar la regla de derivación, esto es, la estructura de la función derivada.
De la definición de derivada de una función, $$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$ podemos escribir $$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)^{n}-x^n}{\Delta x}$$ y, por el desarrollo de la potencia de un binomio, $$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x^n+C_{n,1}x^{n-1}\Delta x+...+C_{n,n-1}x \Delta x^{n-1}+\Delta x^{n})-x^n}{\Delta x}$$ Simplificando,
$$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{C_{n,1}x^{n-1}\Delta x+...+C_{n,n-1}x \Delta x^{n-1}+\Delta x^{n}}{\Delta x}$$ Finalmente, para resolver la indeterminación de tipo $\displaystyle\frac{0}{0}$ con la que nos encontramos, extraemos factor común de $\Delta x$ y volvemos a pasar al límite, con lo cual encontramos el siguiente resultado $$\displaystyle C_{n,1}x^{n-1}$$ que es igual a $$n\,x^{n-1}$$ es decir, $$f^{'}(x)=n\,x^{n-1}$$

Ejemplo 1:
Dada la función $f(x)=x^3$, su derivada es $f^{'}(x)=3\,x^2$

Derivada de un término potencial, con exponente ( en general ) real

Se demuestra -- puede hacerse con ayuda de los logaritmos -- que la regla de derivación anterior se extiende a exponentes reales; es decir, si $$f(x)=x^p$$ donde $k \in \mathbb{R}$, entonces $$f^{'}(x)=k\,x^{k-1}$$

Ejemplo 2:
Dada la función $f(x)=\sqrt{x}$, podemos derivarla mediante dicha regla. Para ello, reescribimos la función de la forma equivalente $$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$$; así que, siendo $k=1/2$, su derivada es igual a $f^{'}(x)=\frac{1}{2} \, x^{-\frac{1}{2}}$

Ejemplo 3:
Dada la función racional $f(x)=\frac{1}{x}$, podemos derivarla mediante esa misma regla si expresamos previamente la función a derivar como $f(x)=x^{-1}$; entonces,
como $k=-1$, su derivada es $$f^{'}(x)=-x^{-2}$$ que podemos expresar de forma equivalente así $$f^{'}(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}$$

Ejemplo 4:
Dada la función $$f(x)=x^{\pi}$$ la f. derivada es $$f^{'}(x)=\pi \, \cdot \, x^{\pi-1}$$

$\square$

Regla de derivación de la función $f(x)=e^x$

Sea la función $f:\,\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ definida de la forma $$f(x)=e^x$$
donde $e$ representa el número trascendente $2,71828 \ldots$, base de los logaritmos neperianos ( o naturales )

Nos proponemos encontrar la regla de derivación de esta función, es decir, la estructura algebraica de la función derivada de la función dada.

De la definición de función derivada, $$\displaystyle \big(e^x\big)^{'}=\lim_{\Delta \, x \rightarrow 0}\,\dfrac{e^{x+\Delta \, x}-e^x}{\Delta\,x}$$
que podemos escribir de la forma$$\displaystyle \big(e^x\big)^{'}= e^{x} \cdot \lim_{\Delta \, x \rightarrow 0}\, \dfrac{e^{\Delta \,x}-1}{\Delta\,x}$$
Es sencillo comprobar - mediante la elaboración de una tabla numérica - que $$\displaystyle \lim_{\Delta \, x \rightarrow 0}\, \dfrac{e^{\Delta \, x}-1}{\Delta\,x}=1$$

luego deducimos $$\big(e^x\big)^{'}=e^x$$

$\square$

Sentando chicos y chicas en una fila de butacas

ENUNCIADO. Cuatro chicos y cuatro chicas se quieren sentar en ocho butacas dispuestas en fila y numeradas. Se pide:
a) ¿ Cuántas ordenaciones son posibles ?
b) Antes de sentarse, sortean las butacas entre las ocho personas. ¿ Cuál es la probabilidad de que todas las chicas tengan al lado un chico ?.
c) Generalizar el resultado anterior para un $n/2$ chicos y $n/2$ chicas, siendo $n$ un número par

SOLUCIÓN.
a)
Como importa el orden, el número de ordenaciones posibles es $V_{8,8}=8!=40\,320$

b)
El espacio muestral $\Omega$ está formado por $8!$ sucesos, que son las ordenaciones posibles. Cada una de ellas tiene la misma probabilidad de ser elegida, luego podemos aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida.

Denotemos por $A$ al suceso "todas las chicas tienen al lado un chico", entonces $$P(A)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A)}{N} \quad \quad (1)$$ siendo $N=8!=40320$ ya que es el cardinal de $\Omega$.

Vamos ahora a calcular el número de casos favorables $N(A)$. Para ello emplearemos el método constructivo de recuento y el principio multiplicativo del recuento. Por tanto podemos anotar $$N(A)=8\cdot 4 \cdot \square \cdot \square \cdot \square \cdot \square \cdot \square \cdot \square$$ La primera butaca puede ser ocupada por cualquiera de las ocho personas, ya sea chico o bien chica, luego hay $8$ posibilidades de elección para dicho sitio. Así que la segunda butaca ha de estar ocupada por alguna de las cuatro chicas, luego hay $4$ posibilidades de elección para la misma.

Para elegir la ocupación de la tercera butaca, debemos escoger entre los tres chicos restantes, así que tenemos $3$ posibilidades; y, como la cuarta butaca, ha de estar ocupada por una chica, podemos elegirla entre las tres chicas restantes. Por tanto podemos escribir: $$N(A)=8\cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \square \cdot \square \cdot \square \cdot \square $$

Así, la quinta butaca ha de estar ocupada por un chico, y éste puede elegirse entre los dos chicos que aún no están sentados. La sexta butaca tendrá que estar ocupada por una chica, y como sólo faltan dos chicas por sentarse, podemos escribir $$N(A)=8\cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \square \cdot \square$$

La sexta butaca deberá estar ocupada por un chico y la octava por una chica. Como sólo faltan por elegir un chico y una chica, llegamos finalmente a $$N(A)=8\cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1=1152$$

Por consiguiente, de (1), podemos calcular ya la probabilidad pedida $$P(A)=\dfrac{1152}{40320} \approx 0,029$$

c)
Observando la regularidad que aparece en el cálculo de $N(A)$, al calcular esta cantidad para $n=2,4,6,8,\ldots$, podemos generalizar el resultado de la forma $$N(A)=n\cdot \dfrac{n}{2}\cdot \left( (\dfrac{n}{2}-1)^2 \cdot (\dfrac{n}{2}-2)^2 \cdot \overset{\underbrace{n-1}}{\ldots} \cdot 2^2\cdot 1\right)$$ Por otra parte $N=V_{n,n}=n!$, con lo cual $$P(A)=\dfrac{n\cdot \frac{n}{2}\cdot \left( (\frac{n}{2}-1)^2 \cdot (\frac{n}{2}-2)^2 \cdot \overset{\underbrace{n-1}}{\ldots} \cdot 2^2\cdot 1\right)}{n!}$$ que, simplificando, también podemos expresar de la forma $$P(A)=\dfrac{\left(n\cdot (\frac{n}{2}-1)!\right)^2}{2 \cdot n!}$$

NOTA. Calculando la probabilidad para valores de $n$ crecientes, podremos observar lo que de antemano podemos esperar: a medida que $n$ crece, $P(A)$ irá decreciendo.

$\square$

Recuentos

ENUNCIADO. ¿ Cuántos múltiplos de $5$ hay entre $11$ y $63$ ?

SOLUCIÓN.

Procedimiento 1. Una manera sencilla de hacer el recuento -- descartamos, por supuesto, el proceso tedioso de escribirlos uno a uno y contar aditivamente todos y cada uno de los múltiplos pertinentes --, consiste en encontrar el menor y el mayor de dichos múltiplos de $5$; el menor es, obviamente, $15$; y, el mayor, claramente, $60$. Entonces, teniendo en cuenta que los múltiplos consecutivos de $5$ se obtienen sumando $5$ unidades al precedente, deducimos que dicho número de múltiplos de $5$ comprendidos entre $11$ y $63$ es igual a $\dfrac{60-5}{5}+1$, esto es, $10$. El lector se preguntará: ¿ Por qué le sumamos uno ? Pues por la misma razón que el número de postes necesarios para que queden $n$ espacios entre ellos, es $n+1$.

Procedimiento 2. Llamemos a este procedimiento procedimiento interesante, pues el anterior ya lo venimos aplicando, desde hace tiempo, en otros cursos más básicos. Si podemos establecer una aplicación uno a uno ( biyección ) entre el conjunto de los números naturales consecutivos, hasta un cierto número, y el conjunto de los sucesivos múltiplos de $5$, mayores que $11$ y menores que $63$, el cardinal del conjunto de partida habrá de ser igual al del conjunto de llegada, con lo cual, tendremos listo el recuento. Como enseguida vamos a ver, en el caso que nos ocupa sí es posible establecer dicha aplicación uno a uno. En otros casos, sin embargo, puede que no lo sea.

Veamos dicha aplicación uno a uno. Como todo número natural multiplicado por $5$ es un múltiplo de $5$, podemos bosquejar una expresión que 'fabrique' múltiplos de $5$; ésta que sigue, como idea primaria, vale $5\cdot \diamond $, donde $\diamond$ designa un número natural arbitrario; ahora bien, no hemos terminado; debemos conseguir expresar el conjunto de los números múltiplos de $5$ consecutivos, y para ello necesitamos una variable independiente. Demos pues un pasito más; esa variable independiente, a la que denotaremos por $i$, ha de protagonizar el recuento, por tanto es necesario que $i\in \{1,2,3,\ldots\}$. Así, podemos ir perfilando la siguiente expresión en función de $i$: $5\cdot ( \lozenge + i )$ ( donde $\lozenge$ denota un número natural arbitrario; y, ajustando el primer sumando del paréntesis para que, siendo $i=1$, el valor de la expresión sea lo más próximo a $15$ ( que es el primer múltiplo ), vemos que el valor que debe tomar el parámetro $\lozenge$ es $2$; y, así, llegamos a la siguiente función $f(i)= 5\cdot (i+2)$ para $i=1,2,3,\ldots$, cuyos valores son los sucesivos múltiplos de $5$. Si $i=1$, $f(1)=15$, que es el primer múltiplo de $5$ que nos interesa. Por otra parte, encontramos que si $i=10$, $f(10)=60$ que es el mayor múltiplo de $5$ menor que $63$, luego el número de dichos múltiplos es $i=10$

A modo de ejemplo, apliquemos ahora este procedimiento a otro problema similar: ¿ Cuántos múltiplos de $11$ hay entre $13$ y $123$ ?. Vamos a ello. Queremos establecer una aplicación biyectiva entre los conjuntos $\{1,2,3,\ldots,i_{\text{máximo}}\}$ y $\{22,33,44,\ldots,121\}$, que deberá ser de la forma $f(i)=11\cdot ( a+i)$, para $i=1,2,3,\ldots,,i_{\text{máximo}}$ y donde $a$ es número entero que, en su papel de parámetro, debemos determinar. Lo hacemos de la siguiente manera. Como para $i=1$, $f(1)=22$ ( el primer múltiplo ), tenemos la siguiente igualdad $22=11\cdot (a+1)$, de donde encontramos $a=1$. Entonces la función que buscábamos es $f(i)=11\cdot (1+i)$ para $i=1,2,3,\ldots,,i_{\text{máximo}}$. Ahora es inmediato ver que el mayor múltiplo de $11$ comprendido entre $13$ y $123$ es $122$, que corresponde a $f(10)$, luego como $i_{\text{máximo}}=10$, el número de múltiplos pedido es $10$
$\square$

Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. En un bombo hay $60$ bolas, numeradas de $1$ a $60$. Se elige al azar una de esas bolas. Se pide la probabilidad de que la bola seleccionada sea:
a) Un múltiplo de $3$
b) Un múltiplo de $4$
c) Un múltiplo de $3$ o un múltiplo de $4$
d) Un múltiplo de $4$, pero no de $6$

SOLUCIÓN. El espacio muestral $\Omega$ está formado por los sucesos simples $\{1,2,\ldots,60\}$; todos ellos, igualmente probables, así que podemos emplear la regla de Laplace para calcular las probabilidades pedidas. Designemos por $\dot{n}$ al suceso compuesto que corresponde a que la bola elegida sea múltiplo de $n$. Entonces,

a) El primer múltiplo de $3$ es el propio $3$, y el mayor de ellos es $60$, por tanto entre los $60$ números hay $\dfrac{60-3}{3}+1=20$ múltiplos de $3$, luego $P(\dot{3})=\dfrac{20}{60}=\dfrac{1}{3}$

b) a) El primer múltiplo de $4$ es el propio $4$, y el mayor de ellos es $60$, por tanto entre los $60$ números hay $\dfrac{60-4}{4}+1=15$ múltiplos de $4$, luego $P(\dot{4})=\dfrac{15}{60}=\dfrac{1}{4}$

c) Por la fórmula de inclusión-exclusión podemos escribir $$P(\dot{3} \cup \dot{4} )=P(\dot{3})+P(\dot{4})-P(\dot{3} \cap \dot{4}) \quad \quad (1)$$ Procedemos pues a calcular el valor del tercer término de la expresión. Los números que son múltiplos de $3$ y, también, de $4$, son múltiplos de $\text{m.c.m.}(3,4)=12$; el primer múltiplode $12$ es el propio $12$, y el mayor de ellos es $60$, por tanto entre los $60$ números hay $\dfrac{60-12}{12}+1=5$ múltiplos de $12$, luego $P(\dot{12})=\dfrac{5}{60}=\dfrac{1}{12}$ y, por tanto, $$P(\dot{3} \cap \dot{4})=\dfrac{1}{12}$$ Poniendo ahora los datos en (1) resulta, $$P(\dot{3} \cup \dot{4} )=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{2}$$

d)
Se nos pide ahora que calculemos $P(\dot{4} \cap \bar{\dot{6}})$. Recordemos la propiedad que dice que, dados dos sucesos, $A$ y $B$, se tiene que $$P(A \cap \bar{B})=P(A)-P(A \cap B)$$ Así que $$P(\dot{4} \cap \bar{\dot{6}})=P(\dot{4})-P(\dot{4} \cap \dot{6}) \quad \quad (2)$$ Debemos por tanto calcular el valor del segundo término de la expresión.

Como los números que son múltiplos de $4$ y, también, de $6$, son múltiplos de $\text{m.c.m.}(4,6)=12$, se tiene que $P(\dot{4} \cap \dot{6})=P(\dot{12})$, probabilidad que, al igual que $P(\dot{4})$, ya hemos calculado antes: $P(\dot{4})=\dfrac{1}{4}$ y $P(\dot{12})=\dfrac{1}{12}$.

Poniendo los datos en (2) resulta, $$P(\dot{4} \cap \bar{\dot{6}})=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{6}$$
$\square$

Estudieu la següent successió ...

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow \infty$:
      $a_n=\dfrac{(2\,n+1)^3}{2\,n^3+n^2-5} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió decreix monòtonament a partir de $n=2$; la s. és fitada, i convergent a $4$; en efecte,
pera a $n=1$, $a_1=-\dfrac{27}{2}$, i a mida que augmentem el valor de l'índex $n$, el valor dels termes es cada vegada més petit. Si calculem el límit trobem que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, a_{n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \,\dfrac{(2\,n+1)^3}{2\,n^3+n^2-5} = 4$. Així, doncs, $-\dfrac{27}{2} \le a_n < 4$ $\square$

Estudieu la successió ...

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow\infty$       $b_n=\dfrac{(5\,n+1)^2}{(n+1)^4} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió és monòtona decreixent, és fitada, i convergeix a $0$

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, b_{n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \,\dfrac{(5\,n+1)^2}{(n+1)^4}=0$ perquè, tractant-se del quocient de dos polinomis, el grau del polinomi del denominador es més gran que el del numerador

Podem dir per tant que
$0 < b_n \le \dfrac{9}{4}$ atès que $a_1=\dfrac{9}{4}$ $\square$

Estudieu la successió ...

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow\infty$       $c_n=\Big(\dfrac{4\,n^2-1}{5\,n^2}\Big)^n \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió és monòtona decreixent, fitada, i convergent a zero

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, c_{n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{4\,n^2-1}{5\,n^2}\Big)^n=\lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{4\,n^2-1}{5\,n^2}\Big)^{\lim_{n\rightarrow \infty}n}=(4/5)^\infty=0$

Per tant, $0 \prec c_n \le \dfrac{3}{5}$

$\square$

Estudieu la següent successió

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow\infty$       $d_n=\Big(\dfrac{3\,n^4+n+1}{2\,n^4}\Big)^{\frac{2\,n^2-1}{n^2}} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió és monòtona decreixent, fitada, i convergent a $9/4$, en efecte:

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, d_{n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{3\,n^4+n+1}{2\,n^4}\Big)^{\frac{2\,n^2-1}{n^2}}$
que, per la propietat del límit d'una potència, és igual a
$\displaystyle \Bigg(\lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{3\,n^4+n+1}{2\,n^4}\Big)\Bigg)^{\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \,\frac{2\,n^2-1}{n^2}}=\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^2=\dfrac{9}{4}$

$\dfrac{9}{4} < d_n \le \dfrac{5}{2}$ $\square$

Estudieu la successió

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow\infty$       $e_n=\Big(\dfrac{n+1}{n}\Big)^{3n} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió és monòtona creixent i és fitada inferiorment per $2^3$. Per altra banda, convergeix a $e^3$, en efecte

$$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{n+1}{n}\Big)^{3n}\overset{\text{indeterminació del tipus}\; 1^{\infty}}{=}\lim_{n \rightarrow \infty} \,\left((1+1/n)^{n}\right)^3=e^3$$


$\square$

Successions fitades i no fitades

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow \infty$:
      $f_n=\Big(\dfrac{n}{n-1}\Big)^{2n} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió és monòtona decreixent. No és fitada inferiorment perquè   $f_1=\infty$

per contra

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, f_{n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{n}{n-1}\Big)^{2n}=e^2$

i, per tant, té fita superior igual a $e^2$

$f_n < e^2$ $\square$

Exemple de successión que està fitada però no té límit

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow \infty$:
      $g_n=(-1)^{n} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió és alternant entre els valors $-1$ i $1$; per tant, malgrat ser una s. fitada

$-1\le g_n \le 1$

no és convergent, atès que

$\displaystyle \nexists \lim_{n \rightarrow \infty} \, g_{n}$

$\square$

Un altre exercici sobre successions i càlcul de límits

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow \infty$
      $h_n=\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{(n+1)}\right| \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

El primer terme de la successió és igual a

$h_1=1-\left|\sqrt{2}\right|$

Fent una taula de valors, es comprova que és una s. monòtona decreixent. Calculem, a continuació, el límit per a $n \rightarrow \infty$

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \big(\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{n+1}\right|\big)$

passant al límit, ens trobem amb una indeterminació del tipus $\infty - \infty$ que resoldrem multiplicant i dividint per l'expressió conjugada $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \big(\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{n+1}\right|\big)=\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{\big(\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{n+1}\right|\big)\cdot \big(\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|\big) }{\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|}$
que és igual a
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{\big(\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{n+1}\right|\big)\cdot \big(\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|\big) }{\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|}$

i, multiplicant els binomis del numerador, ens queda igual a

$-\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|}=0$

la successió és, doncs, monòtona creixent, és fitada, i convergeix a $0$

$1-\left|\sqrt{2}\right| \le h_n < 0$ $\square$

Estudieu la successió ...

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow\infty$       $\displaystyle i_n=\dfrac{\frac{5}{n^3}}{\frac{4}{n^2}} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

Simplificant l'expressió del terme general veiem que

$i_n=\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{1}{n}$

Trobem que

$i_1=\dfrac{5}{4}$

i, fàcilment, comprovem que

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{1}{n} = 0$

Per tant, la successió és monòtona decreixent, és fitada, i convergeix a $0$

$\dfrac{5}{4} \le i_n < 0$ $\square$

Un exercici de sumes infinites

Enunciat:

Calculeu el límit:
      $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \big(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\ldots\big)$

Solució:

En l'argument del límit trobem la suma dels $n$ termes successius d'una s. geomètrica de raó igual a $\dfrac{1}{2}$

El valor d'aquesta suma és igual a

$\displaystyle s_n=1 \cdot \dfrac{\big(\dfrac{1}{2}\big)^n-1}{\dfrac{1}{2}-1}=2\,\Big(1-\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^n\Big)$

Llavors
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \big(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\ldots\big) = \lim_{n \rightarrow \infty}\, s_n = \lim_{n \rightarrow \infty}\, 2\,\Big(1-\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^n\Big) = 2$ atès que

$\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^n\overset{n\gg 1}{\longrightarrow } 0 $

$\square$

A partir de quin terme la sucessió ...

Enunciat:
A partir de quin terme la successió de terme general

$a_n=\dfrac{1}{n} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$
es troba pròxima a zero amb un error menor que $10^{-4}$ ?

Resolució:
D'acord amb la informació de l'enunciat (magnitud de l'error) podem escriure la següent desigualtat
$\left|\dfrac{1}{n}-0\right|<10^{-4}$ d'aquí, aïllant $n$, trobem $n > 10^{4}$

$\square$

Un exercici de successions numèriques

Enunciat:
Quins termes de la successió
$b_n=\dfrac{2n}{n+1} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$
s'apropen a $2$ amb un error menor que $10^{-4}$ ?

Resolució:
D'acord amb la informació de l'enunciat (magnitud de l'error) podem escriure la següent desigualtat
$\left|\dfrac{2n}{n+1}-2\right|<10^{-4}$ d'aquí, aïllant $n$, resolent la desigualtat $\left|\dfrac{2n-2n-2}{n+1}\right|<10^{-4}$ $\left|-\dfrac{2}{n+1}\right|<10^{-4}$ $2 \cdot 10^{4}-1 < n$ i, d'aquí, $n > 19\,999$
$\square$

Un exercici de càlcul de límits de successions

Enunciat:
Calculeu el límit:
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \big( \left|\sqrt{n^2-3n+2}\right|-n\big)$


Resolució:
Si passem al límit, ens trobem amb una indeterminació del tipus $\infty-\infty$, que podem resoldre multiplicant i dividint per l'expressió conjugada de l'argument del límit
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \big( \left|\sqrt{n^2-3n+2}\right|-n\big)$
és igual a
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{\Big( \big( \left|\sqrt{n^2-3n+2}\right|-n \big) \cdot \big( \left|\sqrt{n^2-3n+2}\right|+n \big)\Big)}{ \left|\sqrt{n^2-3n+2}\right|+n} $
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{-3n+2}{\left|\sqrt{n^2-3n+2}\right|+n } $
Observem que, ara, en tornar a passar al límit, obtenim una indeterminació del tipus
$\dfrac{\infty}{\infty}$
la qual resoldrem dividint numerador i denominador per $n$ (la potència de $n$ d'exponent més gran que trobem a l'expressió)
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{-3+\dfrac{2}{n}}{\left|\sqrt{1-\dfrac{3}{n}+\dfrac{2}{n^2}}\right|+1}=-\dfrac{3}{2} $
$\square$

Disponemos de tres tarjetas (...)

ENUNCIADO. Disponemos de tres tarjetas, cuyas caras (anverso y reverso) pueden ser de color blanco o negro. Una de las tarjetas es blanca por las dos caras; otra es negra por las dos caras, y la restante tiene una cara blanca y otra cara negra. Se elige al azar una de las tres tarjetas y se pone encima de la mesa, sin conocer el color de la cara que queda oculta. ¿ Cuál es la probabilidad de que dicha tarjeta tenga sus dos caras del mismo color ? ¿ Y de que tenga sus dos caras de colores distintos ?

SOLUCIÓN.
Vamos a construir el espacio muestral de manera que todos sus elementos sean equiprobables; de esta forma, podremos aplicar la regla de Laplace para calcular las probabilidades pedidas.

Al realizar la elección al azar, elegimos la tarjeta y también el anverso o el reverso de la misma. Podemos imaginar las tarjetas numeradas, del $1$ al $3$: el número $1$ para la tarjeta con las dos caras blancas; el número $2$, para la tarjeta con las dos caras negras, y el número $3$ para la tarjeta con las dos caras de distinto color. Para anotar el color del anverso ( que consideraremos que es la cara que mira hacia arriba cuando ponemos la tarjeta elegida sobre la mesa ) convendremos escribirlo en mayúscula, con la letra que designa el color ( B para blanco y N para negro ), a la izquierda; y el de la otra cara, en minúscula, a la derecha. Así por ejemplo, $Bb|_1$ y $bB|_1$ son los elementos del espacio muestral que corresponden, uno y otro, a haber elegido la carta con las dos caras blancas ( que etiquetamos con un $1$ ).

Así, el espacio muestral viene dado por $$\Omega=\{Bb|_1,bB|_1,Nn|_2,nN|_2,Nb|_3,Bn|_3\}$$ Denotemos por $M$ al suceso ( compuesto ) "obtener una tarjeta con las dos caras del mismo color", y por $D$ al suceso (compuesto ) "obtener una tarjeta con las dos caras de distinto color".

Es evidente que $M=\{Bb|_1,bB|_1,Nn|_2,nN|_2\}$, siendo por tanto $\text{cardinal}(M)=4$. Por otra parte $D=\{Nb|_3,Bn|_3\}$, con $\text{cardinal}(D)=2$. Y, desde luego, $\text{cardinal}(\Omega)=6$

Entonces, por la regla de Laplace obtenemos:
$P(M)=\dfrac{\text{cardinal}(M)}{\text{cardinal}(\Omega)}$
    $=\dfrac{4}{6}$
      $=\dfrac{2}{3}$
y
$P(D)=\dfrac{\text{cardinal}(D)}{\text{cardinal}(\Omega)}$
    $=\dfrac{2}{6}$
      $=\dfrac{1}{3}$

NOTA. Al observar la tarjeta elegida con el color blanco ( o bien el negro ) boca arriba, y de tener que apostar a que ésta tuviese las dos caras del mismo color o bien a que ésta tuviese las dos caras de distinto color, es claro que deberíamos hacerlo por la primera opción, pues su probabilidad es el doble que la de la segunda opción.
$\square$

Demostració del valor d'un límit d'una successió, segons la definició de límit

Enunciat:
Demostreu que:
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{2\,n+1}{n}=2 \quad \quad (\;n \in \mathbb{N}-\{0\}\;)$


Resolució:
Per demostrar el valor del límit no n'hi ha prou a fer ús de les regles de càlcul; cal fer ús de la definició de límit d'una successió.
És a dir, cal demostrar que, per a tot nombre real $\epsilon > 0$, és possible trobar un nombre enter positiu $m$ tal que per a tot $n > m$ es compleix la següent condició:
$\left|\dfrac{2n+1}{n}-2\right| < \epsilon \quad \quad \quad (1)$ Efectivament, de la desigualtat trobem que $\left|\dfrac{2n+1-2n}{n}\right| < \epsilon$ és a dir $\dfrac{1}{n}<\epsilon$ i, d'aquí, trobem que $n > \dfrac{1}{\epsilon}$
és a dir
$m = \left[\dfrac{1}{\epsilon}\right]+1$
(els claudàtors indiquen l'operació part entera)

Per exemple, si $\epsilon=0,12$
$m=\left[\dfrac{1}{0,12}\right]+1=9$

Comprovem la condició resenyada (1):
$\left|\dfrac{2\cdot 9+1}{9}-2\right| \approx 0,111 < \epsilon$ $\square$

Càlcul de límits de funcions

Apliqueu les definicions, propietats i regles de càlcul per trobar el valor dels límits proposats al final de la pàgina. En algun d'aquests exercics, els límits laterals no coincideixen; o, fins i tot, algun d'aquests no existeix, raons per les quals el límit global - en aquests casos - no existeix. Per entendre-ho bé, de forma visual, us pot ajudar l'ús d'algun programa de representació gràfica (GeoGebra, per exemple). Abans, però, convé que repasseu les notes del llibre de text i que llegiu la següent

      a.1)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$

      a.2)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$

      a.3)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$

      b.1)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^{+}}\;\dfrac{1}{3-x}$

      b.2)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^{-}}\;\dfrac{1}{3-x}$

      b.3)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}\;\dfrac{1}{3-x}$

      c.1)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3\,x^2+3\,x+1}$

      c.2)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3\,x^2+3\,x+1}$

      c.3)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3\,x^2+3\,x+1}$

      d.1)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}$

      d.2)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}$

      d.3)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}$


Solucions:
APARTAT a

Observant la figura és ben clar que:
a.1) límit lateral per la dreta:
    $ \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}=-1$
a.2) límit lateral per l'esquerra:
    $ \nexists \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$
a.3) límit global:
    $ \nexists \lim_{x \rightarrow -1}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$
  atès que un dels dos límits laterals (el límit lateral per l'esquerra) no existeix

Resolució:
APARTAT b

Observant el gràfic de la funció (hipèrbola) localitzem l'asímptota (vertical) $\text{av:}\,x=3$ (el denominador s'anul·la per a $x=3$ i la funció divergeix per a aquest valor, trencant-se la continuïtat).
b.1) límit lateral per la dreta:
    $\lim_{x \rightarrow 3^{+}}\;\dfrac{1}{3-x}=-\infty$
b.2) límit lateral per l'esquerra:
    $\lim_{x \rightarrow 3^{-}}\;\dfrac{1}{3-x}=+\infty$
b.3) Com que els límits laterals no coincideixen el límit global no existeix:

Resolució:
APARTAT c

Si passem al límit (substituint directament la variable independent pel valor al qual tendeix el límit) ens trobem amb una indeterminació del tipus $\frac{0}{0}$

Resoldrem aquesta indeterminació simplificant l'argment del límit; descomponent els polinomis del numerador i del denominador en factors, trobem:
$x^2+2x+1=(x+1)^2$
i
$x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3$
Havent simplificat (cancel·lant els factors $x-1$ del numerador i del denominador), tornem a passar a límit i ens adonem que ha desaparegut la indeterminació (provada per la presència del factor $(x+1)^2$ a l'expressió original). La funció donada és equivalent a la hipèrbola equilàtera $y=1/x$ desplaçada horitzontalment una unitat a l'esquerra:
$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$

Per tant, com que el denominador s'anul·la per a $x=-1$, la funció no és contínua per a $x=-1$: (asímptota vertical: $\text{av:}\,x=-1$ (vegeu el gràfic). És clar que els límits laterals (que divergeixen, és clar) ho fan vers $-\infty$ i $+\infty$, respectivament; és a dir, no coincideixen; i, doncs, cal concloure que no existeix el límit global per a $x=-1$.
d.1) límit lateral per la dreta:
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3x^2+3x+1}=\lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{1}{x+1}=+\infty$
d.2) límit lateral per l'esquerra:
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3x^2+3x+1}=\lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{1}{x+1}=-\infty$
d.3) límit global: no existeix

Resolució:
APARTAT d

Primer de tot, cal observar que en passar al límit (substituint directament la variable independent pel valor al qual tendeix el límit) ens trobem amb una indeterminació del tipus $\frac{0}{0}$

Resoldrem aquesta indeterminació simplificant l'argment del límit; descomponent els polinomis del numerador i del denominador en factors, trobem:
$x^5-1=(x-1)\,(x^4+x^3+x^2+x+1)$
i
$x^7-1=(x-1)\,(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$
Havent simplificat (cancel·lant els factors $x-1$ del numerador i del denominador), tornem a passar a límit i ens adonem que ha desaparegut la indeterminació (provada per la presència del factor $x-1$ a l'expressió original)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\,\dfrac{x^5-1}{x^7-1}=\lim_{x \rightarrow 1}\,\dfrac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}=\dfrac{5}{7}$
Adonem-nos també que, com que el denominador no s'anul·la per cap valor de $x$, la funció és contínua en tots els punts del domini d'existència (vegeu el gràfic), per tant els límits laterals existeixen i tenen el mateix valor:
d.1) límit lateral per la dreta:
    $ \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}=\dfrac{5}{7}$
d.2) límit lateral per l'esquerra:
    $ \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}=\dfrac{5}{7}$
d.3) límit global:
    $\lim_{x \rightarrow 1}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}=\dfrac{5}{7}$
$\square$

Un exercici de composició de funcions

Enunciat:

  Donades les funcions $g(x)=3^x$ i $f(x)=1-2x$, determineu les següents funcions:
    a)   $g \circ f$   (efa composada amb ge)
    b)   $f \circ g$   (ge composada amb efa)
    c)   $f^{-1}$   (recíproca de efa)
    d)   $g^{-1}$   (recíproca de ge)
    e)   $g \circ f^{-1}$   (recíproca de efa composada amb ge)
    f)   $f \circ g^{-1}$   (recíproca de ge composada amb efa)
    g)   $f^{-1} \circ g$   (ge composada amb la recíproca de efa)
    h)   $g^{-1} \circ f$   (efa composada amb la recíproca de ge)
    i)   $f^{-1} \circ g^{-1}$   (recíproca de ge composada amb la recíproca de efa)
    j)   $g^{-1} \circ f^{-1}$   (recíproca de efa composada amb la recíproca de ge)
    k)   $\big(f \circ g\big)^{-1}$   (recíproca de la funció 'ge composada efa')
    l)   $\big(g \circ f\big)^{-1}$   (recíproca de la funció 'efa composada ge')

Resolució:

    a)   $\displaystyle (g \circ f)(x)=g(f(x))=g(1-2x)=3^{1-2\,x}$
    b)   $(f \circ g)(x)=f(3^x)=1-2\cdot 3^x$
    c)   $f^{-1}(x)=\ldots=\dfrac{1-x}{2}$
    d)   $g^{-1}(x)=\ldots=\dfrac{\ln{x}}{\ln{3}}$
    e)   $\displaystyle (g \circ f^{-1})(x)=g\big(\dfrac{1-x}{2}\big)=3^{\frac{1-x}{2}}$
    f)   $\displaystyle (f \circ g^{-1})(x)=f\Big(\frac{\ln{x}}{\ln{3}} \Big)=\ldots=1-\dfrac{\ln{x^2}}{\ln{3}}$
    g)   $\displaystyle (f^{-1} \circ g)(x)=f^{-1}\big( 3^x \big) = \ldots = \dfrac{1-3^x}{2}$
    h)   $\displaystyle (g^{-1} \circ f)(x)=g^{-1}\big(1-2\,x\big)=\ldots=\dfrac{\ln{(1-2\,x)}}{\ln{3}}$
    i)   $\displaystyle (f^{-1} \circ g^{-1})(x)=f^{-1}\Big( \dfrac{\ln{x}}{\ln{3}}\Big)=\ldots=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\ln{x}}{\ln{9}}$
    j)   $\displaystyle (g^{-1} \circ f^{-1})(x)=g^{-1}\Big( \dfrac{1-x}{2}\Big)=\ldots=\dfrac{\ln{\big(\frac{1-x}{2}}\big)}{\ln{3}}$
    k)   $\displaystyle \big(f \circ g\big)^{-1}(x)=[\text{propietat}]=(g^{-1} \circ f^{-1})(x)=\dfrac{\ln{\big(\frac{1-x}{2}}\big)}{\ln{3}}$
    l)   $\displaystyle \big(g \circ f\big)^{-1}(x)=[\text{propietat}]=(f^{-1} \circ g^{-1})(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\ln{x}}{\ln{9}}$
$\square$

Un altre exercici d'anàlisi de funcions

Enunciat:

      Donades les funcions $g(x)=3^x$ i $f(x)=1-2x$ i les que s'exposen a sota, feu ús del programa GeoGebra per representar gràficament totes aquestes funcions. Determineu les coordenades dels punts d'intersecció amb els eixos i esbrineu el domini d'existència i el recorregut de cada funció.

    a) $\displaystyle (g \circ f)(x)=g(f(x))=g(1-2x)=3^{1-2\,x}$
    b)   $(f \circ g)(x)=f(3^x)=1-2\cdot 3^x$
    c)   $f^{-1}(x)=\ldots=\dfrac{1-x}{2}$
    d)   $g^{-1}(x)=\ldots=\dfrac{\ln{x}}{\ln{3}}$
    e)   $\displaystyle (g \circ f^{-1})(x)=g\big(\dfrac{1-x}{2}\big)=3^{\frac{1-x}{2}}$
    f)   $\displaystyle (f \circ g^{-1})(x)=f\Big(\frac{\ln{x}}{\ln{3}} \Big)=\ldots=1-\dfrac{\ln{x^2}}{\ln{3}}$
    g)   $\displaystyle (f^{-1} \circ g)(x)=f^{-1}\big( 3^x \big) = \ldots = \dfrac{1-3^x}{2}$
    h)   $\displaystyle (g^{-1} \circ f)(x)=g^{-1}\big(1-2\,x\big)=\ldots=\dfrac{\ln{(1-2\,x)}}{\ln{3}}$
    i)   $\displaystyle (f^{-1} \circ g^{-1})(x)=f^{-1}\Big( \dfrac{\ln{x}}{\ln{3}}\Big)=\ldots=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\ln{x}}{\ln{9}}$
    j)   $\displaystyle (g^{-1} \circ f^{-1})(x)=g^{-1}\Big( \dfrac{1-x}{2}\Big)=\ldots=\dfrac{\ln{\big(\frac{1-x}{2}}\big)}{\ln{3}}$
    k)   $\displaystyle \big(f \circ g\big)^{-1}(x)=[\text{propietat}]=(g^{-1} \circ f^{-1})(x)=\dfrac{\ln{\big(\frac{1-x}{2}}\big)}{\ln{3}}$
    l)   $\displaystyle \big(g \circ f\big)^{-1}(x)=[\text{propietat}]=(f^{-1} \circ g^{-1})(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\ln{x}}{\ln{9}}$
$\square$

Resolució:

$\square$

Exercici d'anàlisi de funcions

Enunciat:
Donada la funció $f(x)=x^3$, calculeu:
    a) El valor de la taxa de variació mitjana $\text{TVM}$ de la funció $f$ en el punt d'abscissa $x=2$, prenent $\Delta \, x = 0,1$
    b) El valor de la derivada de $f$ per a $x=2$
    c) L'equació de la recta tangent a la corba que descriu la funció donada, en el punt d'abscissa igual a $2$
    d) Representeu conjuntament, en un sol diagrama cartesià: la corba donada per $f(x)$, el punt $P\big(2,f(2)\big)$, i la recta tangent a $f$ en el punt $P$
Resolució:
    a)
La taxa de variació mitjana en un punt $Q(x,y)$ es calcula fent
$\text{TVM}_{Q(x,y)}=\dfrac{f(x+\Delta \, x)-f(x)}{\Delta \,x}$
I, en particular, en el punt $P$, d'abscissa $x=2$, i prenent un valor de $\Delta \, x$ igual a $1$ (enunciat), és igual a
$\text{TVM}_{P}=\dfrac{f(2+0,1)-f(2)}{0,1}$
i, calculant el segon membre
$\text{TVM}_{P}=\dfrac{f(2+0,1)-f(2)}{0,1}=\ldots=12,61$

    b)
El valor de la derivada de $f$ per a $x=2$ representa el valor del pendent de la recta tangent a la corba donada per la funció $f$ en el punt d'abscissa donada i, segons la definició, és igual al límit del quocient incremental (o taxa de variació mitjana en el punt donat)
$\displaystyle f'(2)=\lim_{\Delta \,x \rightarrow 0} \, \dfrac{f(2+\Delta \, x)- f(2)}{\Delta \, x} \quad \quad (1)$
Desenvolupant el denominador de l'argument del límit $\Delta \, y$, trobem
$f(2+\Delta \, x)-f(2)=(2+\Delta \, x)^3-2^3$
que és igual a
$(\Delta \,x)^3 + 6\,(\Delta \, x)^2 + 12 \, \Delta \, x $
I, posant aquesta expressió en (1), ens queda
$\displaystyle \lim_{\Delta \,x \rightarrow 0}\, \dfrac{f(2+\Delta \, x)-f(2)}{\Delta \, x} = \lim_{\Delta \,x \rightarrow 0} \, \dfrac{(\Delta \,x)^3 + 6\,(\Delta \,x)^2 + 12 \, \Delta \, x }{\Delta \, x}$
Per desfer la indeterminació del tipus $0/0$ amb què ens trobem quan passem al límit, traiem $\Delta\,x$ com a factor comú de l'expressió del numerador i simplifiquem, obtenint
$\displaystyle \lim_{\Delta \,x \rightarrow 0}\, \bigg((\Delta\,x)^2 + 6\,(\Delta\,x)+ 12\bigg)=12$
és a dir
$f'(2)=12$
$\square$

    c)
Per determinar l'equació de la recta tangent en el punt $P$ d'abscissa $x=2$ (de la corba donada per la funció $f$), decidim, primer de tot, expressar-la en forma explícita, perquè és la forma que s'obté amb més facilitat a partir de les dades que disposem
és a dir, l'escriurem
$\text{rt:}\,y=m\,x+k$
cal, doncs, calcular els valors dels coeficients $m$ i $k$

El pendent $m$ de la recta (tangent), és igual al valor de la derivada de la funció $f$ en aquest punt (calculat a l'apartat anterior: $f'(2)=12$), és a dir
$m=f'(2)=12$
llavors, podem escriure
$\text{rt:}\,y=12\,x+k \quad \quad (2)$
Ara, tan sols falta calcular el valor de l'ordenada a l'origen $k$, que determinarem tenint en compte que $P\big(2,f(2)\big) \, \in \text{rt}$
Com que $f(2)=8$, de (2) escriurem
$8=12 \cdot 2 + k$
i, aillant $k$, queda
$k=-16$
concloent que l'equació de la recta tangent a la corba $f(x)=x^3$ en el punt d'absicssa igual a $2$ s'escriu de la forma (forma explícita)
$\text{rt:}\,y=12\,x-16$
$\square$

    d)

$\square$

Un exercici de geometria analítica per determinar els elements d'una hipèrbola

Enunciat:
Considereu una hipèrbola equilàtera que té per equació $h:\,x\,y=1$ (referida a les seves asímptotes). Determineu els seus elements i feu-ne una representació gràfica.

Resolució:
Sabem que l'equació d'una hipèrbola equilàtera en forma canònica (Figura 1) és
$x^2-y^2=a^2$
i té per asímptotes les rectes $y=\pm x$

Figura 1

Si girem els eixos $45º$ en el sentit contrari a les agulles del rellotge (Figura 2), hem vist que l'equació s'escriu de la forma
$x\,y=\dfrac{a^2}{2}$
i parlem, llavors, d'equació de la hipèrbola referida a les seves asímptotes, ja que en fer el gir de 45º, els nous eixos de coordenades passen a ser les rectes asímptotes [ els antics eixos de coordenades es representen a la figura en forma discontínua ]

Figura 2

Com que
$\dfrac{a^2}{2}=1$
deduïm que
$a=\pm |\sqrt{2}|$

Sabem que les coordenades dels focus són:
$F(a,a)$
$F'(-a,-a)$
per tant, podem especificar els seus valors
$F(|\sqrt{2}|,|\sqrt{2}|)$
$F'(-|\sqrt{2}|,-|\sqrt{2}|)$

El valor de $c$ ve donat per la relació que lliga $a$, $b$ i $c$ en una hipèrbola
$c^2=a^2+b^2$
i com que $a=b$
$c^2=2\,a^2$
és a dir
$c=|\sqrt{2}|\,a$
recordem, però, que
$a=|\sqrt{2}|$
i, per tant,
$c=2$

Amb això, ja podem calcular el valor de l'excentricitat $e=c/a$
$e=\dfrac{2}{|\sqrt{2}|}=|\sqrt{2}| > 1$
(més gran que u, tal i com, s'espera per a una hipèrbola)

Calculem, ara, les coordenades dels vèrtexs A i A'; per això, tenim en compte que
aquests punt són els p. d'intersecció entre la recta d'equació $y=x$ (vegeu la figura) i la hipèrbola $x\,y=1$

resolent el sistema d'equacions
$\left.\begin{matrix} x\,y=1\\y=x\\ \end{matrix}\right\}$
trobem
$A(1,1)$
$A'(-1,-1)$

pel que fa als vèrtexs imaginaris B, B', observem que es troben damunt d'una circumferència de radi igual a $a$, igual que els altres dos vèrtexs A i A' (ja determinats): B es situa al 2n quadrant i B' al quart (tots dos damunt la bisectriu $y=-x$)

per tant
$B(-1,1)$
$B'(1,-1)$

$\square$

Classificació de còniques

Enunciat:
Classifiqueu la següent corba cònica, determineu els seus elements i feu-ne una representació gràfica:
$y^2+2y-6x+1=0$

Resolució:
Veiem - fàcilment - que podem escriure l'equació de la forma
$(y+1)^2=6x \quad \quad (1)$
i, per tant, és obvi que correspon a una paràbola, que, en forma canònica (estàndard) és del tipus
$y^2=2px \quad \quad (2)$
que té el vèrtex situat a l'origen de coordenades, el focus en el punt
$(\dfrac{p}{2},0)$
i recta directriu d'equació
$x=-\dfrac{p}{2}$

En el cas que ens ocupa, el vèrtex es situa en el punt de coordenades $(-1,0)$, atès que (1) es pot posar de la forma
$\big(y-(-1)\big)^2=6x$

Per comparació de (1) i (2) trobem que
$2p=6$
és a dir
$p=3$

Llavors, considerant la translació [ de vector de translació $\vec{t}=(x_V,y_V)$, amb $x_V=0$ i $y_V=-1$ ] que transforma la paràbola donada per (2) en la paràbola donada per (1), el focus de la paràbola (1) ve donat per
$F(p/2,0+y_V)$
i com que el valor de $p/2$ és igual a $3/2$
$x_V=0$ i $y_V=-1$
és el punt
$F(\dfrac{3}{2},-1)$

la recta directriu corresponent a (2) - i també a (1) - té per equació
$rd:\,x=-\dfrac{p}{2}$
és a dir
$rd:\,x=-\dfrac{3}{2}$

Figura 1

$\square$

Hipàtia

El director de cinema Alejandro Amenabar va dirigir una pel·lícula ambientada en els temps convulsos que li va tocar viure a la matemàtica, astrònoma, i filosofa neoplatònica Hypatia (Alexandria, en els darrers temps de la famosa biblioteca, segles IV-V d. C.). El paper d'Hypatia el representa l'actriu Rachel Weisz. Després de més mil cinc-cents anys, en un temps - el nostre - on el fanatisme, l'ànsia de poder i les guerres “de religió” dissortadament continuen existint, la pel·lícula és – mal ens pesi – d'una actualitat renovada. Però, sens dubte, és també un homenatge al rigor, a l'ètica, al valor, i a la inquietud matemàtica i científica d'una dona sàvia, honesta, i valenta: Hypatia (Alexandria, ~370-415 d.C.)

En una bon nombre d'escenes apareixen disquisicions sobre el sistema de Ptolomeu (el sistema geocèntric): reflexions sobre els seus avantatges i les seves llacunes, de la qual cosa, per descomptat, se'n tenia consciència, malgrat pesessin més les bondats del model que no pas les seves incoherències de base. El director, els guionistes, i els assessors científics i històrics aconsegueixen també escenificar prou bé el rigor del raonament lògic emprat pels grecs a la llum dels Elements d'Euclides (segle III a. C.) i les reflexions filosòfiques sobre el moviment i les dificultats per superar la trava intel·lectual de la idea de “perfecció” de les formes – atribuïda a la circumferència – que, per als clàssics grecs, havia d'anar forçosament lligada als moviments i formes dels astres. En astronomia, els treballs sobre les trajectòries còniques – les corbes/seccions còniques [d'un con] estudiades ja pels matemàtics grecs que van precedir Hypatia (Apoloni de Perge, , segles III-II a. C.) [i tal com es mostra amb molta elegància en una escena de la pel·lícula] - no estarien a punt de substituir el model geocèntrica de Ptolomeu de manera clara fins a finals del segle XVI gràcies als treballs de l'astrònom Johannes Kepler (1571-1630), ajustant-se – com és ben sabut - molt millor a la realitat i, el que és més importat, fent possible la substitució del model subtil i artificiós de Ptolomeu pel mòdel heliocèntric, ja postulat de forma poc precisa i sense desenvolupar per Aristarc de Samos (segle III a. C.). Cap de les obres d'Hypatia es va salvar, però gràcies als comentaris d'alguns dels seus deixebles (Sinesi de Cirene i Hesiqui d'Alexandria), de les obres dels quals sí que se'n té proves, hom sap que va escriure uns comentaris a les Seccions Còniques d'Apoloni de Perge -sobre la paràbola, l'el·lipse, i la hipèrbola -; va fer també una revisió de les taules astronòmiques de Ptolomeu; una compilació pròpia d'efemèrides astronòmiques; i es va cuidar de l'edició del comentari del seu pare Teó d'Alexandria (matemàtic i astrònom) als Elements d'Euclides; també va escriure obres sobre el que avui entenem per teoria de nombres: un comentari a l'Aritmètica de Diofant d'Alexandria (segle III d.C.); elaborà planisferis i va treballar en el camp de la mecànica i la hidrostàtica.

Llocs geomètrics. Corves còniques.

Ejercicio sobre hipérbolas

Quadrilàters inscrits en una circuferencia. La propietat de Ptolomeu.

La propietat que fa referència a un quadrilàter inscrit en una circumferència (quadrilàter cíclic) coneguda amb el nom de teorema de Ptolomeu1 és un bell resultat de la geometria grega de l'escola d'Alexandria. En aquest escrit faig notar el fet que el teorema de Pitàgores reapareix, a partir del teorema de Ptolomeu 1, com un cas particular del mateix. No és corrent trobar una propietat deguda a Ptolomeu1 ( que fa referència als quadrilàters cíclics ) als moderns llibres de text de Batxillerat. No obstant això, la seva importància a l'hora de resoldre elegantment molts problemes i per demostrar propietats és remarcable; sovint, s'ensenya als alumnes que es preparen per participar a les Olimpíades Matemàtiques i, també, als alumnes de Batxillerat que preparen les Proves Cangur. Per altra banda, és de gran utilitat quan hom fa activitats de camp amb els alumnes: es pot fer sevir en moltes situacions de mesura indirecta. M'ha semblat interessant recordar el seu enunciat en un petit escrit i, sobretot, remarcar el fet que d'aquest teorema se'n desprèn, com a cas particular, el teorema de Pitàgores. Pel que fa a la resolució de problemes, el moment on pot aparèixer és, possiblement, a 1r de Batxillerat, quan es tracta el tema de resolució de triangles generals i, també, en problemes on es fa servir el càlcul amb vectors en el pla. Malgrat tot, personalment opino que també es pot enunciar a l'ESO, formant part de continguts d'ampliació o bé d'activitats de camp; entent-lo com un problema de regle i compàs, tal i com realment és, des de la perspectiva històrica: un elegant teorema de la geometria euclidiana. Euclides (Alexandria, ~ s. III aC) recull moltes proposicions que fan referència a quadrilàters cíclics; vegeu, per exemple la proposició número 22 del llibre III dels Elements. ____________________________________ (1) El teorema porta el nom del matemàtic i astrònom grec Claudi Ptolomeu (circa 85 dC - circa 165 dC), el mateix que, juntament amb d'altres com ara Hiparc de Samos (s. III aC), va contribuir notablement a la millora de la teoria geocèntrica (astronomia) que havia sigut introduïda primer per Eudoxe de Cnidos ( s. IV aC) i després refeta per Aristòtil. Els astronoms (Ptolomeu, Hiparc, ...) de l'escola d'Alexandria van arribar a afinar de tal manera la teoria geocèntrica - introduint les nocions de: òrbita excèntrica, epicicle, i equant - que, tot i la seva complicació, quant a la concordància amb les observacions astronòmiques de l'època així com la capacitat predictiva de la teoria geocèntrica, aquesta superava amb escreix a les primeres teories heliocèntriques; això, sens dubte, va constituir un formidable obstacle i va contribuir a posa tantes trabes a l'heliocentrisme. Tot i que Aristarc de Samos (310 aC - 230 aC) ja havia introduït el model heliocèntric, calgué esperar fins el segle XVI, quan Copèrnic la va millorar suficientment per tal que els astrònoms s'adonéssin de la certesa de la teoria heliocèntrica de Copèrnic. Un dels passos decissius el donà Galileo Galilei, defensor de la teoria de Copèrnic, quan en va donar una prova irrefutable en observar amb el telescopi de la seva invenció els satèl·lits de Jupiter. Ja no hi havia dubte: no era cert que els astres giressin al voltant de la Terra.

Psicrómetro

Psicrómetro ( aparato para medir la humedad relativa ) Altafulla, Tarragona verano de 2004