Apliqueu les definicions, propietats i regles de càlcul per trobar el valor dels límits proposats al final de la pàgina. En algun d'aquests exercics, els límits laterals no coincideixen; o, fins i tot, algun d'aquests no existeix, raons per les quals el límit global - en aquests casos - no existeix. Per entendre-ho bé, de forma visual, us pot ajudar l'ús d'algun programa de representació gràfica (GeoGebra, per exemple). Abans, però, convé que repasseu les notes del llibre de text i que llegiu la següent
a.1) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$
a.2) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$
a.3) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$
b.1) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^{+}}\;\dfrac{1}{3-x}$
b.2) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^{-}}\;\dfrac{1}{3-x}$
b.3) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}\;\dfrac{1}{3-x}$
c.1) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3\,x^2+3\,x+1}$
c.2) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3\,x^2+3\,x+1}$
c.3) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3\,x^2+3\,x+1}$
d.1) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}$
d.2) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}$
d.3) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}$
Solucions:
APARTAT a
Observant la figura és ben clar que:
a.1) límit lateral per la dreta:
$ \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}=-1$
a.2) límit lateral per l'esquerra:
$ \nexists \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$
a.3) límit global:
$ \nexists \lim_{x \rightarrow -1}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$
atès que un dels dos límits laterals (el límit lateral per l'esquerra) no existeix
Resolució:
APARTAT b
Observant el gràfic de la funció (hipèrbola) localitzem l'asímptota (vertical) $\text{av:}\,x=3$ (el denominador s'anul·la per a $x=3$ i la funció divergeix per a aquest valor, trencant-se la continuïtat).
b.1) límit lateral per la dreta:
$\lim_{x \rightarrow 3^{+}}\;\dfrac{1}{3-x}=-\infty$
b.2) límit lateral per l'esquerra:
$\lim_{x \rightarrow 3^{-}}\;\dfrac{1}{3-x}=+\infty$
b.3) Com que els límits laterals no coincideixen el límit global no existeix:
Resolució:
APARTAT c
Si passem al límit (substituint directament la variable independent pel valor al qual tendeix el límit) ens trobem amb una indeterminació del tipus $\frac{0}{0}$
Resoldrem aquesta indeterminació simplificant l'argment del límit; descomponent els polinomis del numerador i del denominador en factors, trobem:
$x^2+2x+1=(x+1)^2$
i
$x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3$
Havent simplificat (cancel·lant els factors $x-1$ del numerador i del denominador), tornem a passar a límit i ens adonem que ha desaparegut la indeterminació (provada per la presència del factor $(x+1)^2$ a l'expressió original). La funció donada és equivalent a la hipèrbola equilàtera $y=1/x$ desplaçada horitzontalment una unitat a l'esquerra:
$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$
Per tant, com que el denominador s'anul·la per a $x=-1$, la funció no és contínua per a $x=-1$: (asímptota vertical: $\text{av:}\,x=-1$ (vegeu el gràfic). És clar que els límits laterals (que divergeixen, és clar) ho fan vers $-\infty$ i $+\infty$, respectivament; és a dir, no coincideixen; i, doncs, cal concloure que no existeix el límit global per a $x=-1$.
d.1) límit lateral per la dreta:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3x^2+3x+1}=\lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{1}{x+1}=+\infty$
d.2) límit lateral per l'esquerra:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3x^2+3x+1}=\lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{1}{x+1}=-\infty$
d.3) límit global: no existeix
Resolució:
APARTAT d
Primer de tot, cal observar que en passar al límit (substituint directament la variable independent pel valor al qual tendeix el límit) ens trobem amb una indeterminació del tipus $\frac{0}{0}$
Resoldrem aquesta indeterminació simplificant l'argment del límit; descomponent els polinomis del numerador i del denominador en factors, trobem:
$x^5-1=(x-1)\,(x^4+x^3+x^2+x+1)$
i
$x^7-1=(x-1)\,(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$
Havent simplificat (cancel·lant els factors $x-1$ del numerador i del denominador), tornem a passar a límit i ens adonem que ha desaparegut la indeterminació (provada per la presència del factor $x-1$ a l'expressió original)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\,\dfrac{x^5-1}{x^7-1}=\lim_{x \rightarrow 1}\,\dfrac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}=\dfrac{5}{7}$
Adonem-nos també que, com que el denominador no s'anul·la per cap valor de $x$, la funció és contínua en tots els punts del domini d'existència (vegeu el gràfic), per tant els límits laterals existeixen i tenen el mateix valor:
d.1) límit lateral per la dreta:
$ \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}=\dfrac{5}{7}$
d.2) límit lateral per l'esquerra:
$ \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}=\dfrac{5}{7}$
d.3) límit global:
$\lim_{x \rightarrow 1}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}=\dfrac{5}{7}$
$\square$
