Apliqueu les definicions, propietats i regles de càlcul per trobar el valor dels límits proposats al final de la pàgina. En algun d'aquests exercics, els límits laterals no coincideixen; o, fins i tot, algun d'aquests no existeix, raons per les quals el límit global - en aquests casos - no existeix. Per entendre-ho bé, de forma visual, us pot ajudar l'ús d'algun programa de representació gràfica (GeoGebra, per exemple). Abans, però, convé que repasseu les notes del llibre de text i que llegiu la següent
a.1) \displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}
a.2) \displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}
a.3) \displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}
b.1) \displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^{+}}\;\dfrac{1}{3-x}
b.2) \displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^{-}}\;\dfrac{1}{3-x}
b.3) \displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}\;\dfrac{1}{3-x}
c.1) \displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3\,x^2+3\,x+1}
c.2) \displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3\,x^2+3\,x+1}
c.3) \displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3\,x^2+3\,x+1}
d.1) \displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}
d.2) \displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}
d.3) \displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}
Solucions:
APARTAT a
Observant la figura és ben clar que:
a.1) límit lateral per la dreta:
\lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}=-1
a.2) límit lateral per l'esquerra:
\nexists \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}
a.3) límit global:
\nexists \lim_{x \rightarrow -1}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}
atès que un dels dos límits laterals (el límit lateral per l'esquerra) no existeix
Resolució:
APARTAT b
Observant el gràfic de la funció (hipèrbola) localitzem l'asímptota (vertical) \text{av:}\,x=3 (el denominador s'anul·la per a x=3 i la funció divergeix per a aquest valor, trencant-se la continuïtat).
b.1) límit lateral per la dreta:
\lim_{x \rightarrow 3^{+}}\;\dfrac{1}{3-x}=-\infty
b.2) límit lateral per l'esquerra:
\lim_{x \rightarrow 3^{-}}\;\dfrac{1}{3-x}=+\infty
b.3) Com que els límits laterals no coincideixen el límit global no existeix:
Resolució:
APARTAT c
Si passem al límit (substituint directament la variable independent pel valor al qual tendeix el límit) ens trobem amb una indeterminació del tipus \frac{0}{0}
Resoldrem aquesta indeterminació simplificant l'argment del límit; descomponent els polinomis del numerador i del denominador en factors, trobem:
x^2+2x+1=(x+1)^2
i
x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3
Havent simplificat (cancel·lant els factors x-1 del numerador i del denominador), tornem a passar a límit i ens adonem que ha desaparegut la indeterminació (provada per la presència del factor (x+1)^2 a l'expressió original). La funció donada és equivalent a la hipèrbola equilàtera y=1/x desplaçada horitzontalment una unitat a l'esquerra:
f(x)=\dfrac{1}{x+1}
Per tant, com que el denominador s'anul·la per a x=-1, la funció no és contínua per a x=-1: (asímptota vertical: \text{av:}\,x=-1 (vegeu el gràfic). És clar que els límits laterals (que divergeixen, és clar) ho fan vers -\infty i +\infty, respectivament; és a dir, no coincideixen; i, doncs, cal concloure que no existeix el límit global per a x=-1.
d.1) límit lateral per la dreta:
\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3x^2+3x+1}=\lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{1}{x+1}=+\infty
d.2) límit lateral per l'esquerra:
\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3x^2+3x+1}=\lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{1}{x+1}=-\infty
d.3) límit global: no existeix
Resolució:
APARTAT d
Primer de tot, cal observar que en passar al límit (substituint directament la variable independent pel valor al qual tendeix el límit) ens trobem amb una indeterminació del tipus \frac{0}{0}
Resoldrem aquesta indeterminació simplificant l'argment del límit; descomponent els polinomis del numerador i del denominador en factors, trobem:
x^5-1=(x-1)\,(x^4+x^3+x^2+x+1)
i
x^7-1=(x-1)\,(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)
Havent simplificat (cancel·lant els factors x-1 del numerador i del denominador), tornem a passar a límit i ens adonem que ha desaparegut la indeterminació (provada per la presència del factor x-1 a l'expressió original)
\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\,\dfrac{x^5-1}{x^7-1}=\lim_{x \rightarrow 1}\,\dfrac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}=\dfrac{5}{7}
Adonem-nos també que, com que el denominador no s'anul·la per cap valor de x, la funció és contínua en tots els punts del domini d'existència (vegeu el gràfic), per tant els límits laterals existeixen i tenen el mateix valor:
d.1) límit lateral per la dreta:
\lim_{x \rightarrow 1^{+}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}=\dfrac{5}{7}
d.2) límit lateral per l'esquerra:
\lim_{x \rightarrow 1^{-}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}=\dfrac{5}{7}
d.3) límit global:
\lim_{x \rightarrow 1}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}=\dfrac{5}{7}
\square
