ENUNCIADO. ¿ Cuántos números enteros no negativos pueden formarse que tengan a lo sumo $n$ cifras ?
SOLUCIÓN.
Procedimiento I
El conjunto de cifras del alfabeto decimal es $\{0,1,2,\ldots,9\}$ y consta por tanto de $10$ cifras. Veamos ahora cuántos números se pueden formar de $1$, $2$, $\ldots$ hasta de $n$ cifras. Veamos qué sucede a medida que aumentamos el valor de $n$.
Números de una cifra:
Desde luego, se puede formar $1$ número, el $0$
Se pueden formar también los $9$ números, del $1$ al $9$
Por tanto podemos formar $1+9=10$ números de una cifra.
Números de dos cifras:
Como podemos elegir de $9$ maneras la cifra de las decenas ( pues no podemos elegir el '0' si dichos números han de tener dos cifras ) y de $10$ maneras las de las unidades, podemos formar $9\cdot 10$ números de dos cifras
Números de tres cifras:
Como podemos elegir de $9$ maneras la cifra de las centenas ( pues no podemos elegir el '0' si dichos números han de tener tres cifras ), de $10$ maneras las de las decenas, y de $9$ maneras las cifra de las unidades. Así que podemos formar $9\cdot 10 \cdot 10=9\cdot 10^2$ números de tres cifras.
...
De ahí es fácil inducir que:
Números de $n$ cifras:
Podemos formar $9\cdot 10^{n-1}$ números de $n$ cifras.
Por consiguiente, en total, podemos formar $$10+9\cdot 10 + 9\cdot 10^2+ \ldots + 9\cdot 10^{n} \quad \text{números de a lo sumo}\, n\, \text{cifras}$$ esto es $$10+9\cdot 10\cdot (1+10+10^2+\overset{\underbrace{n-1}}{\ldots}+10^{n-1}) \quad \quad (1)$$ Y teniendo en cuenta que la suma del paréntesis corresponde a la de los términos de una progresión geométrica de $n-1$ términos cuyo primer término es igual a $1$ y de razón $10$, sabemos ( por la fórmula de la suma ) que ésta es igual a $1\cdot \dfrac{10^{n-1}-1}{10-1}$ por lo que (1) nos queda
$10+9\cdot 10\cdot \dfrac{10^{n-1}-1}{10-1}$
$=10+\dfrac{9\cdot 10}{9}\cdot (10^{n-1}-1)$
$=10+10\cdot (10^{n-1}-1)$
$=10\cdot (1+10^{n-1}-1)$
$=10\cdot 10^{n-1}$
$=10^{n}$
Procedimiento II. Éste es el procedimiento más directo y más simple.
Consideremos un número de $n$ cifras. La primera ( por la izquierda ) podemos elegirla de $10$ maneras distintas, ya que también podemos optar por el '0', habida cuenta que estamos construyendo número de a lo sumo $n$ cifras. La misma consideración podemos hacer para elegir la segunda cifra, luego ésta podremos escogerla también de $10$ maneras distintas; y, de igual forma, hasta llegar a la última cifra ( la de las unidades ), que también podremos elegir de $10$ maneras distintas. Por consiguiente, y empleando el principio multiplicativo, podemos formar $$10\cdot 10 \cdot \overset{\underbrace{n}}{\ldots} \cdot 10 = 10^n\quad \text{números de a lo sumo}\, n\, \text{cifras}$$
$\square$
Mostrando entradas con la etiqueta recuento. Mostrar todas las entradas
Mostrando entradas con la etiqueta recuento. Mostrar todas las entradas
martes, 10 de enero de 2017
miércoles, 19 de octubre de 2016
Recuentos
ENUNCIADO. ¿ Cuántos múltiplos de $5$ hay entre $11$ y $63$ ?
SOLUCIÓN.
Procedimiento 1. Una manera sencilla de hacer el recuento -- descartamos, por supuesto, el proceso tedioso de escribirlos uno a uno y contar aditivamente todos y cada uno de los múltiplos pertinentes --, consiste en encontrar el menor y el mayor de dichos múltiplos de $5$; el menor es, obviamente, $15$; y, el mayor, claramente, $60$. Entonces, teniendo en cuenta que los múltiplos consecutivos de $5$ se obtienen sumando $5$ unidades al precedente, deducimos que dicho número de múltiplos de $5$ comprendidos entre $11$ y $63$ es igual a $\dfrac{60-5}{5}+1$, esto es, $10$. El lector se preguntará: ¿ Por qué le sumamos uno ? Pues por la misma razón que el número de postes necesarios para que queden $n$ espacios entre ellos, es $n+1$.
Procedimiento 2. Llamemos a este procedimiento procedimiento interesante, pues el anterior ya lo venimos aplicando, desde hace tiempo, en otros cursos más básicos. Si podemos establecer una aplicación uno a uno ( biyección ) entre el conjunto de los números naturales consecutivos, hasta un cierto número, y el conjunto de los sucesivos múltiplos de $5$, mayores que $11$ y menores que $63$, el cardinal del conjunto de partida habrá de ser igual al del conjunto de llegada, con lo cual, tendremos listo el recuento. Como enseguida vamos a ver, en el caso que nos ocupa sí es posible establecer dicha aplicación uno a uno. En otros casos, sin embargo, puede que no lo sea.
Veamos dicha aplicación uno a uno. Como todo número natural multiplicado por $5$ es un múltiplo de $5$, podemos bosquejar una expresión que 'fabrique' múltiplos de $5$; ésta que sigue, como idea primaria, vale $5\cdot \diamond $, donde $\diamond$ designa un número natural arbitrario; ahora bien, no hemos terminado; debemos conseguir expresar el conjunto de los números múltiplos de $5$ consecutivos, y para ello necesitamos una variable independiente. Demos pues un pasito más; esa variable independiente, a la que denotaremos por $i$, ha de protagonizar el recuento, por tanto es necesario que $i\in \{1,2,3,\ldots\}$. Así, podemos ir perfilando la siguiente expresión en función de $i$: $5\cdot ( \lozenge + i )$ ( donde $\lozenge$ denota un número natural arbitrario; y, ajustando el primer sumando del paréntesis para que, siendo $i=1$, el valor de la expresión sea lo más próximo a $15$ ( que es el primer múltiplo ), vemos que el valor que debe tomar el parámetro $\lozenge$ es $2$; y, así, llegamos a la siguiente función $f(i)= 5\cdot (i+2)$ para $i=1,2,3,\ldots$, cuyos valores son los sucesivos múltiplos de $5$. Si $i=1$, $f(1)=15$, que es el primer múltiplo de $5$ que nos interesa. Por otra parte, encontramos que si $i=10$, $f(10)=60$ que es el mayor múltiplo de $5$ menor que $63$, luego el número de dichos múltiplos es $i=10$
A modo de ejemplo, apliquemos ahora este procedimiento a otro problema similar: ¿ Cuántos múltiplos de $11$ hay entre $13$ y $123$ ?. Vamos a ello. Queremos establecer una aplicación biyectiva entre los conjuntos $\{1,2,3,\ldots,i_{\text{máximo}}\}$ y $\{22,33,44,\ldots,121\}$, que deberá ser de la forma $f(i)=11\cdot ( a+i)$, para $i=1,2,3,\ldots,,i_{\text{máximo}}$ y donde $a$ es número entero que, en su papel de parámetro, debemos determinar. Lo hacemos de la siguiente manera. Como para $i=1$, $f(1)=22$ ( el primer múltiplo ), tenemos la siguiente igualdad $22=11\cdot (a+1)$, de donde encontramos $a=1$. Entonces la función que buscábamos es $f(i)=11\cdot (1+i)$ para $i=1,2,3,\ldots,,i_{\text{máximo}}$. Ahora es inmediato ver que el mayor múltiplo de $11$ comprendido entre $13$ y $123$ es $122$, que corresponde a $f(10)$, luego como $i_{\text{máximo}}=10$, el número de múltiplos pedido es $10$
$\square$
SOLUCIÓN.
Procedimiento 1. Una manera sencilla de hacer el recuento -- descartamos, por supuesto, el proceso tedioso de escribirlos uno a uno y contar aditivamente todos y cada uno de los múltiplos pertinentes --, consiste en encontrar el menor y el mayor de dichos múltiplos de $5$; el menor es, obviamente, $15$; y, el mayor, claramente, $60$. Entonces, teniendo en cuenta que los múltiplos consecutivos de $5$ se obtienen sumando $5$ unidades al precedente, deducimos que dicho número de múltiplos de $5$ comprendidos entre $11$ y $63$ es igual a $\dfrac{60-5}{5}+1$, esto es, $10$. El lector se preguntará: ¿ Por qué le sumamos uno ? Pues por la misma razón que el número de postes necesarios para que queden $n$ espacios entre ellos, es $n+1$.
Procedimiento 2. Llamemos a este procedimiento procedimiento interesante, pues el anterior ya lo venimos aplicando, desde hace tiempo, en otros cursos más básicos. Si podemos establecer una aplicación uno a uno ( biyección ) entre el conjunto de los números naturales consecutivos, hasta un cierto número, y el conjunto de los sucesivos múltiplos de $5$, mayores que $11$ y menores que $63$, el cardinal del conjunto de partida habrá de ser igual al del conjunto de llegada, con lo cual, tendremos listo el recuento. Como enseguida vamos a ver, en el caso que nos ocupa sí es posible establecer dicha aplicación uno a uno. En otros casos, sin embargo, puede que no lo sea.
Veamos dicha aplicación uno a uno. Como todo número natural multiplicado por $5$ es un múltiplo de $5$, podemos bosquejar una expresión que 'fabrique' múltiplos de $5$; ésta que sigue, como idea primaria, vale $5\cdot \diamond $, donde $\diamond$ designa un número natural arbitrario; ahora bien, no hemos terminado; debemos conseguir expresar el conjunto de los números múltiplos de $5$ consecutivos, y para ello necesitamos una variable independiente. Demos pues un pasito más; esa variable independiente, a la que denotaremos por $i$, ha de protagonizar el recuento, por tanto es necesario que $i\in \{1,2,3,\ldots\}$. Así, podemos ir perfilando la siguiente expresión en función de $i$: $5\cdot ( \lozenge + i )$ ( donde $\lozenge$ denota un número natural arbitrario; y, ajustando el primer sumando del paréntesis para que, siendo $i=1$, el valor de la expresión sea lo más próximo a $15$ ( que es el primer múltiplo ), vemos que el valor que debe tomar el parámetro $\lozenge$ es $2$; y, así, llegamos a la siguiente función $f(i)= 5\cdot (i+2)$ para $i=1,2,3,\ldots$, cuyos valores son los sucesivos múltiplos de $5$. Si $i=1$, $f(1)=15$, que es el primer múltiplo de $5$ que nos interesa. Por otra parte, encontramos que si $i=10$, $f(10)=60$ que es el mayor múltiplo de $5$ menor que $63$, luego el número de dichos múltiplos es $i=10$
A modo de ejemplo, apliquemos ahora este procedimiento a otro problema similar: ¿ Cuántos múltiplos de $11$ hay entre $13$ y $123$ ?. Vamos a ello. Queremos establecer una aplicación biyectiva entre los conjuntos $\{1,2,3,\ldots,i_{\text{máximo}}\}$ y $\{22,33,44,\ldots,121\}$, que deberá ser de la forma $f(i)=11\cdot ( a+i)$, para $i=1,2,3,\ldots,,i_{\text{máximo}}$ y donde $a$ es número entero que, en su papel de parámetro, debemos determinar. Lo hacemos de la siguiente manera. Como para $i=1$, $f(1)=22$ ( el primer múltiplo ), tenemos la siguiente igualdad $22=11\cdot (a+1)$, de donde encontramos $a=1$. Entonces la función que buscábamos es $f(i)=11\cdot (1+i)$ para $i=1,2,3,\ldots,,i_{\text{máximo}}$. Ahora es inmediato ver que el mayor múltiplo de $11$ comprendido entre $13$ y $123$ es $122$, que corresponde a $f(10)$, luego como $i_{\text{máximo}}=10$, el número de múltiplos pedido es $10$
$\square$
miércoles, 1 de julio de 2015
En una ciudad se publican tres periódicos ...
ENUNCIAT:
En una ciutat es publiquen tres diaris (A, B, i C). Hem fet un estudi sobre l'ús de la premsa i per això hem escollit un grup de 100 persones. Trobem que 54 llegeixen el diari A; 41, el diari B; 26, el C; 11 llegeixen tan A com B; 9, A i C; 10, B i C; i 6, llegeixen A, B, i C. Es demana:
a) Quantes persones llegeixen almenys un dels tres diaris ? Hi ha algú que no llegeixi cap diari?
b) Quantes persones llegeixen únicament el diari A?
c) Quantes persones llegeixen el diari B o bé el diari C, però no el diari A?
Notació:
El nombre d'elements d'un conjunt $X$ s'anomena cardinal de $X$, i es designa amb la notació $\text{card}(X)$
El complement d'un conjunt X (conjunt d'elements que no pertanyen a X) es representa amb la notació
SOLUCIÓ
a) Pel principi d'inclusió/exclusió:
$\text{card}(A \cup B \cup C)=\text{card}(A)+\text{card}(B)+\text{card}(C)-\text{card}(A \cap B)-\text{card}(A \cap C)-$
$-\text{card}(B \cap C)+\text{card}(A \cap B \cap C)$
i, d'acord amb la informació donada,
$$\text{card}(A)=54$$
$$\text{card}(B)=41$$
$$\text{card}(C)=26$$
$$\text{card}(A \cap B)=11$$
$$\text{card}(A \cap C)=9$$
$$\text{card}(B \cap C)=10$$
$$\text{card}(A \cap B \cap C)=6$$
trobem que el nombre de persones que llegeixen almenys un diari es igual a
vemos que el número de personas que algún ( al menos un ) diario es
$$\text{card}(A \cup B \cup C)=54+41+26-11-10-9+6=97$$
Per tant, el nombre de persones que no llegeixen cap diari s'obté fent $100 - 97 = 3$
Figura 1.
A partir dels nombres cardinals també podríem fer servir un diagrama de Venn per calcular altres nombres cardinals seguint un mètode de comprensió gràfica, tal i com es mostra a la figura; per això, cal començar anotant el nombre cardinal del conjunt intersecció dels tres conjunts, i, de dins a fora, podem anar restant els cardinals de les zones comunes fins arribar a completar tot el diagrama.
b) Tornant a fer ús de la noció d'inclusió-exclusió i, de forma natural, transcrivint al llenguatge de l'àlgebra de conjunts, escriurem el nombre de persones que llegeixen únicament el diari A de la forma $$\text{card}(A \cap \bar{B} \cap \bar{C})=\text{card}(A)-\text{card}(A \cap B) - \text{card}(A \cap C)+\text{card}(A \cap B \cap C)$$ $$=54-9-11+6$$ $$=40$$
c) Per calcular el nombre de persones que llegeixen els diaris B o bé C, però no el diari A, transcrivint les sumes i les restes al llenguatge de l'àlgebra de conjunts (com hem fet als apartats anteriors), escriurem:
$$\text{card}(B \cap C \cap \bar{A})=\text{card}(B \cap C)-\text{card}(A \cap B) - \text{card}(A \cap C)+\text{card}(A \cap B \cap C)$$ $$=57-11-9+6$$ $$=43$$
Observació/comentari: Fent ús d'aquests recomptes, i donant un pas més, per aprofitar els resultats que hem trobat, seria ben senzill aplicar el principi de Laplace per calcular la probabilitat que, escollida una persona a l'atzar, aquesta pertanyés a algun dels diversos subconjunts de l'esquema del diagrama de Venn, d'acord amb l'associació abstracta que podem establir entre la noció de conjunt i la de succés d'un espai de probabilitats.
Referències:
En una ciutat es publiquen tres diaris (A, B, i C). Hem fet un estudi sobre l'ús de la premsa i per això hem escollit un grup de 100 persones. Trobem que 54 llegeixen el diari A; 41, el diari B; 26, el C; 11 llegeixen tan A com B; 9, A i C; 10, B i C; i 6, llegeixen A, B, i C. Es demana:
a) Quantes persones llegeixen almenys un dels tres diaris ? Hi ha algú que no llegeixi cap diari?
b) Quantes persones llegeixen únicament el diari A?
c) Quantes persones llegeixen el diari B o bé el diari C, però no el diari A?
Notació:
El nombre d'elements d'un conjunt $X$ s'anomena cardinal de $X$, i es designa amb la notació $\text{card}(X)$
El complement d'un conjunt X (conjunt d'elements que no pertanyen a X) es representa amb la notació
SOLUCIÓ
a) Pel principi d'inclusió/exclusió:
$\text{card}(A \cup B \cup C)=\text{card}(A)+\text{card}(B)+\text{card}(C)-\text{card}(A \cap B)-\text{card}(A \cap C)-$
$-\text{card}(B \cap C)+\text{card}(A \cap B \cap C)$
i, d'acord amb la informació donada,
$$\text{card}(A)=54$$
$$\text{card}(B)=41$$
$$\text{card}(C)=26$$
$$\text{card}(A \cap B)=11$$
$$\text{card}(A \cap C)=9$$
$$\text{card}(B \cap C)=10$$
$$\text{card}(A \cap B \cap C)=6$$
trobem que el nombre de persones que llegeixen almenys un diari es igual a
vemos que el número de personas que algún ( al menos un ) diario es
$$\text{card}(A \cup B \cup C)=54+41+26-11-10-9+6=97$$
Per tant, el nombre de persones que no llegeixen cap diari s'obté fent $100 - 97 = 3$
A partir dels nombres cardinals també podríem fer servir un diagrama de Venn per calcular altres nombres cardinals seguint un mètode de comprensió gràfica, tal i com es mostra a la figura; per això, cal començar anotant el nombre cardinal del conjunt intersecció dels tres conjunts, i, de dins a fora, podem anar restant els cardinals de les zones comunes fins arribar a completar tot el diagrama.
b) Tornant a fer ús de la noció d'inclusió-exclusió i, de forma natural, transcrivint al llenguatge de l'àlgebra de conjunts, escriurem el nombre de persones que llegeixen únicament el diari A de la forma $$\text{card}(A \cap \bar{B} \cap \bar{C})=\text{card}(A)-\text{card}(A \cap B) - \text{card}(A \cap C)+\text{card}(A \cap B \cap C)$$ $$=54-9-11+6$$ $$=40$$
c) Per calcular el nombre de persones que llegeixen els diaris B o bé C, però no el diari A, transcrivint les sumes i les restes al llenguatge de l'àlgebra de conjunts (com hem fet als apartats anteriors), escriurem:
$$\text{card}(B \cap C \cap \bar{A})=\text{card}(B \cap C)-\text{card}(A \cap B) - \text{card}(A \cap C)+\text{card}(A \cap B \cap C)$$ $$=57-11-9+6$$ $$=43$$
Observació/comentari: Fent ús d'aquests recomptes, i donant un pas més, per aprofitar els resultats que hem trobat, seria ben senzill aplicar el principi de Laplace per calcular la probabilitat que, escollida una persona a l'atzar, aquesta pertanyés a algun dels diversos subconjunts de l'esquema del diagrama de Venn, d'acord amb l'associació abstracta que podem establir entre la noció de conjunt i la de succés d'un espai de probabilitats.
Referències:
- BOADAS, J.; VILLALBÍ, R. Álgebra moderna a través de los problemas. Teide, 1974
- GRIMALDI, R. Matemáticas discreta y combinatoria. Addison-Wesley, 1989
Suscribirse a:
Entradas (Atom)