Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow \infty$
$h_n=\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{(n+1)}\right| \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$
Solució:
El primer terme de la successió és igual a
$h_1=1-\left|\sqrt{2}\right|$
Fent una taula de valors, es comprova que és una s. monòtona decreixent. Calculem, a continuació, el límit per a $n \rightarrow \infty$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \big(\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{n+1}\right|\big)$
passant al límit, ens trobem amb una indeterminació del tipus $\infty - \infty$ que resoldrem multiplicant i dividint per l'expressió conjugada $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \big(\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{n+1}\right|\big)=\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{\big(\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{n+1}\right|\big)\cdot \big(\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|\big) }{\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|}$
que és igual a
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{\big(\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{n+1}\right|\big)\cdot \big(\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|\big) }{\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|}$
i, multiplicant els binomis del numerador, ens queda igual a
$-\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|}=0$
la successió és, doncs, monòtona creixent, és fitada, i convergeix a $0$
$1-\left|\sqrt{2}\right| \le h_n < 0$
$\square$
