Clasificación de dos curvas cónicas y estudio de la incidencia entre ellas

ENUNCIADO. Se consideran las curvas cónicas $\mathcal{C}_1\equiv x^2+y^2-4x-12=0$ y $\mathcal{C}_2\equiv 9\,x^2+16\,y^2-36\,x-108=0$. Dígase a qué tipo de cónicas corresponde cada una de ellas y estúdiese la incidencia de dichas curvas.

SOLUCIÓN.
$\mathcal{C}_1\equiv x^2+y^2-4x-12=0$
  $\mathcal{C}_1\equiv (x-2)^2-4+y^2-12=0$
    $\mathcal{C}_1\equiv (x-2)^2+(y-0)^2=4^2$, luego esta curva es una circunferencia de centro $(2,0)$ y radio $r=4$

$\mathcal{C}_2\equiv 9\,x^2+16\,y^2-36\,x-108=0$
  $\mathcal{C}_2\equiv x^2+\dfrac{16}{9}\,y^2-4\,x-12=0$
    $\mathcal{C}_2\equiv (x-2)^2-4+\dfrac{16}{9}\,y^2-12=0$
      $\mathcal{C}_2\equiv (x-2)^2+\dfrac{16}{9}\,y^2=16$
        $\mathcal{C}_2\equiv \dfrac{(x-2)^2}{16}+\dfrac{(y-0)^2}{9}\,y^2=1$
          $\mathcal{C}_2\equiv \dfrac{(x-2)^2}{4^2}+\dfrac{(y-0)^2}{3^2}\,y^2=1$, tratándose pues de una elipse de centro $(2,0)$; semiejes $a=4$ y $b=3$

Los vértices de la elipse son $A_{2}(4+2,0)$, $A'_{2}(-4+2,0)$; $B_{2}(0,3)$ y $B'_{2}(0,-3)$. Y los de la circunferencia $A_{1}(4+2,0)$, $A'_{1}(-4+2,0)$; $B_{1}(0,4)$ y $B'_{1}(0,-4)$. Por consiguiente la elipse $\mathcal{C}_2$ es tangente interior a la circunferencia $\mathcal{C}_1$ en $A_{1}=A_{2}$ y en $A'_{1}=A'_{2}$
$\square$

Cónicas. Ecuación de una elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas, de excentricidad dada, semieje mayor dado y centro dado.

ENUNCIADO. Hállese la ecuación de una elipse con los ejes paralelos a los ejes de coordenadas, de excentricidad $\epsilon=0,6$, con semieje mayor $a=15$, y centrada en $C(2,-1)$. Determínense los elementos notables de la misma.

SOLUCIÓN. La ecuación de la elipse en las condiciones del enunciado toma la forma $$\dfrac{x-2}{15^2}+\dfrac{y-(-1)}{b^2}=1$$ Como $\epsilon = \dfrac{c}{a}$ ( donde $c$ es la semidistancia entre los focos ) tenemos que $$0,6 = \dfrac{c}{15} \Rightarrow c=9$$ por otra parte sabemos que en una elipse ha de cumplirse que $a^2=b^2+c^2$ con lo cual $$b^2=15^2-9^2=144 \Rightarrow b=12$$ Por consiguiente, la ecuación pedida es $$\dfrac{x-2}{15^2}+\dfrac{y-(-1)}{12^2}=1$$ Así pues, teniendo en cuenta la traslación de la elipse reducida $\dfrac{x}{15^2}+\dfrac{y}{b^2}=1$ ( centrada en el origen de coordenadas ) al punto $C(2,-1)$, las coordenadas de los dos focos son $F(9+2,0+(-1))$ y $F'(-9+2,0+(-1))$, respectivamente; esto es
$$F(11,-1) \quad \text{y}\quad F'(-7,-1)$$ Por lo que respecta a los vértices, si la elipse centrada en el origen de coordenadas $\dfrac{x}{15^2}+\dfrac{y}{b^2}=1$ tiene por vértices $A(15,0)$, $A'(-15,0)$: $B(0,12)$ y $B'(0,-12)$, atendiendo a la traslación de dicha elipse al punto $C(2,-1)$, los vértices de la elipse pedida son $A(15+2,0+(-1))$, $A'(-15+2,0+(-1))$, $B(0+2,12+(-1))$ y $B'(0+2,-12+(-1))$; esto es $$A(17,-1), A'(-13,-1), B(2,11) \; \text{y}\, B'(2,-13)$$
$\square$

Un procedimiento de regla y compás para trazar la recta tangente y la recta normal en un punto cualquiera de una cónica

Llocs geomètrics. Corves còniques.

Elipose generada por un punto de un segmento que desliza entre dos rectas perpendiculares ... ( Artículo escrito en catalán )

[ construcción interactiva ]

[nota del autor]

Clasificar la siguiente cónica ...

Enunciat:
Classifiqueu la següent corba cònica, determineu els seus elements, i feu-ne una representació gràfica: $2x^2+y^2-4x+2y+1=0$

Resolució:
Si escrivim l'equació general d'una cònica
$c_{xx}\,x^2+c_{xy}\,xy+c_{yy}\,y^2+c_{x}\,x+c_{y}\,y+c_{0}=0$
i comparem amb l'equació de la cònica de l'enunciat trobem que

$c_{xx}=2$, $c_{xy}=0$, i $c_{yy}=1$

per tant, el valor del discriminant
$\Delta=c_{xy}^2-4\,c_{xx}\,c_{yy}$
que ens ha de servir per classificar-la, és igual a
$0^2-4\cdot 2 \cdot 1 < 0$ la qual cosa ens diu que la cònica de l'enunciat és una el·lipse. I, donat que $c_{xy}=0$, podem afirmar que els eixos d'aquesta el·lipse són paral·lels als eixos de coordenades cartesianes.

Mirem d'assemblar l'equació donada (escrita en forma general) a l'equació de la forma

$\dfrac{x-x_0}{\square^2}+\dfrac{y-y_0}{\square^2}=1 \quad \quad (1)$

per tal de poder determinar les coordenades del centre de l'el·lipse $(x_0,y_0$
i el valor dels semieixos $a$ i $b$, que corresponen a les quantitats que figuraran als denominadors; sent el semieix major $a$ la més gran de les dues, i el semieix menor $b$, la més petita.

Tenint en compte que
$y^2+2y+1=(y+1)^2$
podem escriure l'equació de la cònica de la forma
$2x^2-4x+(y+1)^2=0$

Dividint per $2$ ambdós membres de la igualtat ens queda
$x^2-2x+\dfrac{(y+1)^2}{2}=0$
i, tenint en compte la identitat del quadrat del binomi, podem expressar
$x^2-2x$ de la forma $(x-1)^2-1$
per tant, la podrem escriure de la forma

$\dfrac{(x-1)^2}{1^2}+\dfrac{(y-(-1))^2}{\big(|\sqrt{2}|\big)^2}=1 \quad \quad (2)$

amb la qual cosa, és obvi - per comparació amb l'equació tipus (1) - quins són el semieixos major i menor i el valor que prenen
semieix major: $a=|\sqrt{2}|$
semieix menor $b=1$
i, també, quin és el centre $C$ de l'el·lipse, el punt de coordenades $(1,-1)$

Atenent la relació que lliga $a$, $b$ i $c$ (la meitat de la distància focal)
$a^2=b^2+c^2$, podem també calcular - a partir dels valors que ja coneixem de $a$ i de $b$ - el valor de $c$

$c=\left|\sqrt{\big(|\sqrt{2}|\big)^2-1^2}\right|=1$

I, d'aquí, trobem el valor de l'excentricitat, que es defineix com la raó aritmètica
$e=\dfrac{c}{a}$
substituint els valors calculats
$e=\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}$
que - com era d'esperar (estem estudiant una el·lipse) - pren un valor més petit que u.

Com que els eixos de simetria d'aquesta el·lipse són paral·lels a als eixos de coordenades, i passen pel centre de l'el·lipse $C(1,-1)$, podem escriure també les seves equacions de forma immediata:
$e_1:\,x=1$
$e_2:\,x=-1$

Calcularem, ara, les coordenades dels focus i dels vèrtexs; per això, cal partir de les coordenades dels focus i vèrtexs de l'el·lipse centrada a l'origen de coordenades, la qual té per equació l'e. reduïda

$\dfrac{x^2}{1^2}+\dfrac{y^2}{\big(|\sqrt{2}|\big)^2}=1$

per, després, fer la translació d'aquesta - segons el vector de translació $\vec{t}=(x_0,y_0)$ [ recordem que $x_0=1$ i que $y_0=-1$ ], obtenint les coordenades que cerquem (focus i vèrtexs de l'el·lipse amb el centre que toca).

vèrtexs de l'el·lipse (A, A'; B, i B') [recordem que $a=|\sqrt{2}|$ (semiexi major) i que $b=1$ (semieix menor, ja que $|\sqrt{2}| >1$; i tinguem en compte també, que, com que el valor del semieix major es troba al denominador del terme en $y$ (equació (2)), en aquest problema els vèrtexs A i A' es situen damunt de l'eix Oy, i els vèrtexs B i Bi, damunt de l'eix Oy ]:
$A(x_0,a+y_0)$   és a dir   $A(1,|\sqrt{2}|-1)$
$A'(x_0,-a+y_0)$   és a dir   $A'(1,-|\sqrt{2}|-1)$
$B(b+x_0,y_0)$   és a dir   $B(2,-1)$
$B'(-b+x_0,y_0)$   és a dir   $B(0,-1)$

focus de l'el·lipse [recordem que $c=1$] F i F' (es troben - en aquest problema - damunt de l'eix Oy, per la raó explicada al paràgraf anterior):
$F(x_0,c+y_0)$ és a dir $F(1,0)$
$F'(x_0,-c+y_0)$ és a dir $F(1,-2)$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicios sobre cónicas ... ( texto en catalán )

[nota del autor]

Lugar geométrico de un segmento rectilíneo que desliza entre dos planos perpendiculares