Un exercici de geometria analítica per determinar els elements d'una hipèrbola

Enunciat:
Considereu una hipèrbola equilàtera que té per equació $h:\,x\,y=1$ (referida a les seves asímptotes). Determineu els seus elements i feu-ne una representació gràfica.

Resolució:
Sabem que l'equació d'una hipèrbola equilàtera en forma canònica (Figura 1) és
$x^2-y^2=a^2$
i té per asímptotes les rectes $y=\pm x$

Figura 1

Si girem els eixos $45º$ en el sentit contrari a les agulles del rellotge (Figura 2), hem vist que l'equació s'escriu de la forma
$x\,y=\dfrac{a^2}{2}$
i parlem, llavors, d'equació de la hipèrbola referida a les seves asímptotes, ja que en fer el gir de 45º, els nous eixos de coordenades passen a ser les rectes asímptotes [ els antics eixos de coordenades es representen a la figura en forma discontínua ]

Figura 2

Com que
$\dfrac{a^2}{2}=1$
deduïm que
$a=\pm |\sqrt{2}|$

Sabem que les coordenades dels focus són:
$F(a,a)$
$F'(-a,-a)$
per tant, podem especificar els seus valors
$F(|\sqrt{2}|,|\sqrt{2}|)$
$F'(-|\sqrt{2}|,-|\sqrt{2}|)$

El valor de $c$ ve donat per la relació que lliga $a$, $b$ i $c$ en una hipèrbola
$c^2=a^2+b^2$
i com que $a=b$
$c^2=2\,a^2$
és a dir
$c=|\sqrt{2}|\,a$
recordem, però, que
$a=|\sqrt{2}|$
i, per tant,
$c=2$

Amb això, ja podem calcular el valor de l'excentricitat $e=c/a$
$e=\dfrac{2}{|\sqrt{2}|}=|\sqrt{2}| > 1$
(més gran que u, tal i com, s'espera per a una hipèrbola)

Calculem, ara, les coordenades dels vèrtexs A i A'; per això, tenim en compte que
aquests punt són els p. d'intersecció entre la recta d'equació $y=x$ (vegeu la figura) i la hipèrbola $x\,y=1$

resolent el sistema d'equacions
$\left.\begin{matrix} x\,y=1\\y=x\\ \end{matrix}\right\}$
trobem
$A(1,1)$
$A'(-1,-1)$

pel que fa als vèrtexs imaginaris B, B', observem que es troben damunt d'una circumferència de radi igual a $a$, igual que els altres dos vèrtexs A i A' (ja determinats): B es situa al 2n quadrant i B' al quart (tots dos damunt la bisectriu $y=-x$)

per tant
$B(-1,1)$
$B'(1,-1)$

$\square$