Estudieu la successió ...

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow\infty$       $b_n=\dfrac{(5\,n+1)^2}{(n+1)^4} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió és monòtona decreixent, és fitada, i convergeix a $0$

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, b_{n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \,\dfrac{(5\,n+1)^2}{(n+1)^4}=0$ perquè, tractant-se del quocient de dos polinomis, el grau del polinomi del denominador es més gran que el del numerador

Podem dir per tant que
$0 < b_n \le \dfrac{9}{4}$ atès que $a_1=\dfrac{9}{4}$ $\square$

Estudieu la successió ...

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow\infty$       $c_n=\Big(\dfrac{4\,n^2-1}{5\,n^2}\Big)^n \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió és monòtona decreixent, fitada, i convergent a zero

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, c_{n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{4\,n^2-1}{5\,n^2}\Big)^n=\lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{4\,n^2-1}{5\,n^2}\Big)^{\lim_{n\rightarrow \infty}n}=(4/5)^\infty=0$

Per tant, $0 \prec c_n \le \dfrac{3}{5}$

$\square$

Estudieu la següent successió

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow\infty$       $d_n=\Big(\dfrac{3\,n^4+n+1}{2\,n^4}\Big)^{\frac{2\,n^2-1}{n^2}} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió és monòtona decreixent, fitada, i convergent a $9/4$, en efecte:

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, d_{n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{3\,n^4+n+1}{2\,n^4}\Big)^{\frac{2\,n^2-1}{n^2}}$
que, per la propietat del límit d'una potència, és igual a
$\displaystyle \Bigg(\lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{3\,n^4+n+1}{2\,n^4}\Big)\Bigg)^{\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \,\frac{2\,n^2-1}{n^2}}=\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^2=\dfrac{9}{4}$

$\dfrac{9}{4} < d_n \le \dfrac{5}{2}$ $\square$

Estudieu la successió

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow\infty$       $e_n=\Big(\dfrac{n+1}{n}\Big)^{3n} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió és monòtona creixent i és fitada inferiorment per $2^3$. Per altra banda, convergeix a $e^3$, en efecte

$$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{n+1}{n}\Big)^{3n}\overset{\text{indeterminació del tipus}\; 1^{\infty}}{=}\lim_{n \rightarrow \infty} \,\left((1+1/n)^{n}\right)^3=e^3$$


$\square$

Un altre exercici sobre successions i càlcul de límits

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow \infty$
      $h_n=\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{(n+1)}\right| \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

El primer terme de la successió és igual a

$h_1=1-\left|\sqrt{2}\right|$

Fent una taula de valors, es comprova que és una s. monòtona decreixent. Calculem, a continuació, el límit per a $n \rightarrow \infty$

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \big(\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{n+1}\right|\big)$

passant al límit, ens trobem amb una indeterminació del tipus $\infty - \infty$ que resoldrem multiplicant i dividint per l'expressió conjugada $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \big(\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{n+1}\right|\big)=\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{\big(\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{n+1}\right|\big)\cdot \big(\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|\big) }{\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|}$
que és igual a
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{\big(\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{n+1}\right|\big)\cdot \big(\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|\big) }{\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|}$

i, multiplicant els binomis del numerador, ens queda igual a

$-\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|}=0$

la successió és, doncs, monòtona creixent, és fitada, i convergeix a $0$

$1-\left|\sqrt{2}\right| \le h_n < 0$ $\square$

Estudieu la successió ...

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow\infty$       $\displaystyle i_n=\dfrac{\frac{5}{n^3}}{\frac{4}{n^2}} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

Simplificant l'expressió del terme general veiem que

$i_n=\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{1}{n}$

Trobem que

$i_1=\dfrac{5}{4}$

i, fàcilment, comprovem que

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{1}{n} = 0$

Per tant, la successió és monòtona decreixent, és fitada, i convergeix a $0$

$\dfrac{5}{4} \le i_n < 0$ $\square$

Demostració del valor d'un límit d'una successió, segons la definició de límit

Enunciat:
Demostreu que:
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{2\,n+1}{n}=2 \quad \quad (\;n \in \mathbb{N}-\{0\}\;)$


Resolució:
Per demostrar el valor del límit no n'hi ha prou a fer ús de les regles de càlcul; cal fer ús de la definició de límit d'una successió.
És a dir, cal demostrar que, per a tot nombre real $\epsilon > 0$, és possible trobar un nombre enter positiu $m$ tal que per a tot $n > m$ es compleix la següent condició:
$\left|\dfrac{2n+1}{n}-2\right| < \epsilon \quad \quad \quad (1)$ Efectivament, de la desigualtat trobem que $\left|\dfrac{2n+1-2n}{n}\right| < \epsilon$ és a dir $\dfrac{1}{n}<\epsilon$ i, d'aquí, trobem que $n > \dfrac{1}{\epsilon}$
és a dir
$m = \left[\dfrac{1}{\epsilon}\right]+1$
(els claudàtors indiquen l'operació part entera)

Per exemple, si $\epsilon=0,12$
$m=\left[\dfrac{1}{0,12}\right]+1=9$

Comprovem la condició resenyada (1):
$\left|\dfrac{2\cdot 9+1}{9}-2\right| \approx 0,111 < \epsilon$ $\square$