Calculeu el límit:
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \big(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\ldots\big)$
Solució:
En l'argument del límit trobem la suma dels $n$ termes successius d'una s. geomètrica de raó igual a $\dfrac{1}{2}$
El valor d'aquesta suma és igual a
$\displaystyle s_n=1 \cdot \dfrac{\big(\dfrac{1}{2}\big)^n-1}{\dfrac{1}{2}-1}=2\,\Big(1-\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^n\Big)$
Llavors
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \big(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\ldots\big) = \lim_{n \rightarrow \infty}\, s_n = \lim_{n \rightarrow \infty}\, 2\,\Big(1-\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^n\Big) = 2$ atès que
$\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^n\overset{n\gg 1}{\longrightarrow } 0 $
$\square$
