Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow\infty$ $d_n=\Big(\dfrac{3\,n^4+n+1}{2\,n^4}\Big)^{\frac{2\,n^2-1}{n^2}} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$
Solució:
La successió és monòtona decreixent, fitada, i convergent a $9/4$, en efecte:
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, d_{n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{3\,n^4+n+1}{2\,n^4}\Big)^{\frac{2\,n^2-1}{n^2}}$
que, per la propietat del límit d'una potència, és igual a
$\displaystyle \Bigg(\lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{3\,n^4+n+1}{2\,n^4}\Big)\Bigg)^{\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \,\frac{2\,n^2-1}{n^2}}=\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^2=\dfrac{9}{4}$
$\dfrac{9}{4} < d_n \le \dfrac{5}{2}$
$\square$
