Demostració del valor d'un límit d'una successió, segons la definició de límit

Enunciat:
Demostreu que:
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{2\,n+1}{n}=2 \quad \quad (\;n \in \mathbb{N}-\{0\}\;)$


Resolució:
Per demostrar el valor del límit no n'hi ha prou a fer ús de les regles de càlcul; cal fer ús de la definició de límit d'una successió.
És a dir, cal demostrar que, per a tot nombre real $\epsilon > 0$, és possible trobar un nombre enter positiu $m$ tal que per a tot $n > m$ es compleix la següent condició:
$\left|\dfrac{2n+1}{n}-2\right| < \epsilon \quad \quad \quad (1)$ Efectivament, de la desigualtat trobem que $\left|\dfrac{2n+1-2n}{n}\right| < \epsilon$ és a dir $\dfrac{1}{n}<\epsilon$ i, d'aquí, trobem que $n > \dfrac{1}{\epsilon}$
és a dir
$m = \left[\dfrac{1}{\epsilon}\right]+1$
(els claudàtors indiquen l'operació part entera)

Per exemple, si $\epsilon=0,12$
$m=\left[\dfrac{1}{0,12}\right]+1=9$

Comprovem la condició resenyada (1):
$\left|\dfrac{2\cdot 9+1}{9}-2\right| \approx 0,111 < \epsilon$ $\square$