Estudieu la següent successió ...

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow \infty$:
      $a_n=\dfrac{(2\,n+1)^3}{2\,n^3+n^2-5} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió decreix monòtonament a partir de $n=2$; la s. és fitada, i convergent a $4$; en efecte,
pera a $n=1$, $a_1=-\dfrac{27}{2}$, i a mida que augmentem el valor de l'índex $n$, el valor dels termes es cada vegada més petit. Si calculem el límit trobem que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, a_{n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \,\dfrac{(2\,n+1)^3}{2\,n^3+n^2-5} = 4$. Així, doncs, $-\dfrac{27}{2} \le a_n < 4$ $\square$

Estudieu la successió ...

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow\infty$       $b_n=\dfrac{(5\,n+1)^2}{(n+1)^4} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió és monòtona decreixent, és fitada, i convergeix a $0$

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, b_{n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \,\dfrac{(5\,n+1)^2}{(n+1)^4}=0$ perquè, tractant-se del quocient de dos polinomis, el grau del polinomi del denominador es més gran que el del numerador

Podem dir per tant que
$0 < b_n \le \dfrac{9}{4}$ atès que $a_1=\dfrac{9}{4}$ $\square$

Successions fitades i no fitades

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow \infty$:
      $f_n=\Big(\dfrac{n}{n-1}\Big)^{2n} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió és monòtona decreixent. No és fitada inferiorment perquè   $f_1=\infty$

per contra

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, f_{n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{n}{n-1}\Big)^{2n}=e^2$

i, per tant, té fita superior igual a $e^2$

$f_n < e^2$ $\square$