Donades les funcions $g(x)=3^x$ i $f(x)=1-2x$, determineu les següents funcions:
a) $g \circ f$ (efa composada amb ge)
b) $f \circ g$ (ge composada amb efa)
c) $f^{-1}$ (recíproca de efa)
d) $g^{-1}$ (recíproca de ge)
e) $g \circ f^{-1}$ (recíproca de efa composada amb ge)
f) $f \circ g^{-1}$ (recíproca de ge composada amb efa)
g) $f^{-1} \circ g$ (ge composada amb la recíproca de efa)
h) $g^{-1} \circ f$ (efa composada amb la recíproca de ge)
i) $f^{-1} \circ g^{-1}$ (recíproca de ge composada amb la recíproca de efa)
j) $g^{-1} \circ f^{-1}$ (recíproca de efa composada amb la recíproca de ge)
k) $\big(f \circ g\big)^{-1}$ (recíproca de la funció 'ge composada efa')
l) $\big(g \circ f\big)^{-1}$ (recíproca de la funció 'efa composada ge')
Resolució:
a) $\displaystyle (g \circ f)(x)=g(f(x))=g(1-2x)=3^{1-2\,x}$
b) $(f \circ g)(x)=f(3^x)=1-2\cdot 3^x$
c) $f^{-1}(x)=\ldots=\dfrac{1-x}{2}$
d) $g^{-1}(x)=\ldots=\dfrac{\ln{x}}{\ln{3}}$
e) $\displaystyle (g \circ f^{-1})(x)=g\big(\dfrac{1-x}{2}\big)=3^{\frac{1-x}{2}}$
f) $\displaystyle (f \circ g^{-1})(x)=f\Big(\frac{\ln{x}}{\ln{3}} \Big)=\ldots=1-\dfrac{\ln{x^2}}{\ln{3}}$
g) $\displaystyle (f^{-1} \circ g)(x)=f^{-1}\big( 3^x \big) = \ldots = \dfrac{1-3^x}{2}$
h) $\displaystyle (g^{-1} \circ f)(x)=g^{-1}\big(1-2\,x\big)=\ldots=\dfrac{\ln{(1-2\,x)}}{\ln{3}}$
i) $\displaystyle (f^{-1} \circ g^{-1})(x)=f^{-1}\Big( \dfrac{\ln{x}}{\ln{3}}\Big)=\ldots=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\ln{x}}{\ln{9}}$
j) $\displaystyle (g^{-1} \circ f^{-1})(x)=g^{-1}\Big( \dfrac{1-x}{2}\Big)=\ldots=\dfrac{\ln{\big(\frac{1-x}{2}}\big)}{\ln{3}}$
k) $\displaystyle \big(f \circ g\big)^{-1}(x)=[\text{propietat}]=(g^{-1} \circ f^{-1})(x)=\dfrac{\ln{\big(\frac{1-x}{2}}\big)}{\ln{3}}$
l) $\displaystyle \big(g \circ f\big)^{-1}(x)=[\text{propietat}]=(f^{-1} \circ g^{-1})(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\ln{x}}{\ln{9}}$
$\square$
