Donades les funcions g(x)=3^x i f(x)=1-2x, determineu les següents funcions:
a) g \circ f (efa composada amb ge)
b) f \circ g (ge composada amb efa)
c) f^{-1} (recíproca de efa)
d) g^{-1} (recíproca de ge)
e) g \circ f^{-1} (recíproca de efa composada amb ge)
f) f \circ g^{-1} (recíproca de ge composada amb efa)
g) f^{-1} \circ g (ge composada amb la recíproca de efa)
h) g^{-1} \circ f (efa composada amb la recíproca de ge)
i) f^{-1} \circ g^{-1} (recíproca de ge composada amb la recíproca de efa)
j) g^{-1} \circ f^{-1} (recíproca de efa composada amb la recíproca de ge)
k) \big(f \circ g\big)^{-1} (recíproca de la funció 'ge composada efa')
l) \big(g \circ f\big)^{-1} (recíproca de la funció 'efa composada ge')
Resolució:
a) \displaystyle (g \circ f)(x)=g(f(x))=g(1-2x)=3^{1-2\,x}
b) (f \circ g)(x)=f(3^x)=1-2\cdot 3^x
c) f^{-1}(x)=\ldots=\dfrac{1-x}{2}
d) g^{-1}(x)=\ldots=\dfrac{\ln{x}}{\ln{3}}
e) \displaystyle (g \circ f^{-1})(x)=g\big(\dfrac{1-x}{2}\big)=3^{\frac{1-x}{2}}
f) \displaystyle (f \circ g^{-1})(x)=f\Big(\frac{\ln{x}}{\ln{3}} \Big)=\ldots=1-\dfrac{\ln{x^2}}{\ln{3}}
g) \displaystyle (f^{-1} \circ g)(x)=f^{-1}\big( 3^x \big) = \ldots = \dfrac{1-3^x}{2}
h) \displaystyle (g^{-1} \circ f)(x)=g^{-1}\big(1-2\,x\big)=\ldots=\dfrac{\ln{(1-2\,x)}}{\ln{3}}
i) \displaystyle (f^{-1} \circ g^{-1})(x)=f^{-1}\Big( \dfrac{\ln{x}}{\ln{3}}\Big)=\ldots=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\ln{x}}{\ln{9}}
j) \displaystyle (g^{-1} \circ f^{-1})(x)=g^{-1}\Big( \dfrac{1-x}{2}\Big)=\ldots=\dfrac{\ln{\big(\frac{1-x}{2}}\big)}{\ln{3}}
k) \displaystyle \big(f \circ g\big)^{-1}(x)=[\text{propietat}]=(g^{-1} \circ f^{-1})(x)=\dfrac{\ln{\big(\frac{1-x}{2}}\big)}{\ln{3}}
l) \displaystyle \big(g \circ f\big)^{-1}(x)=[\text{propietat}]=(f^{-1} \circ g^{-1})(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\ln{x}}{\ln{9}}
\square
