Manejando funciones con GNU Octave

En la siguiente imagen se muestra una manera ( hay otras formas de hacerlo ) de definir una función ( ejemplo: $f(x)=x^2+x+1$ ) con la herramienta GNU Octave, para luego valorarla, fijando algunos valores de la variable independiente $x$.

Nota: Para realizar esta prueba de cálculo se ha empleado la interfaz gráfica de usuario ( GUI ) del programa, si bien también puede usarse la consola de comandos ( CLI )

Un exercici de composició de funcions

Enunciat:

  Donades les funcions $g(x)=3^x$ i $f(x)=1-2x$, determineu les següents funcions:
    a)   $g \circ f$   (efa composada amb ge)
    b)   $f \circ g$   (ge composada amb efa)
    c)   $f^{-1}$   (recíproca de efa)
    d)   $g^{-1}$   (recíproca de ge)
    e)   $g \circ f^{-1}$   (recíproca de efa composada amb ge)
    f)   $f \circ g^{-1}$   (recíproca de ge composada amb efa)
    g)   $f^{-1} \circ g$   (ge composada amb la recíproca de efa)
    h)   $g^{-1} \circ f$   (efa composada amb la recíproca de ge)
    i)   $f^{-1} \circ g^{-1}$   (recíproca de ge composada amb la recíproca de efa)
    j)   $g^{-1} \circ f^{-1}$   (recíproca de efa composada amb la recíproca de ge)
    k)   $\big(f \circ g\big)^{-1}$   (recíproca de la funció 'ge composada efa')
    l)   $\big(g \circ f\big)^{-1}$   (recíproca de la funció 'efa composada ge')

Resolució:

    a)   $\displaystyle (g \circ f)(x)=g(f(x))=g(1-2x)=3^{1-2\,x}$
    b)   $(f \circ g)(x)=f(3^x)=1-2\cdot 3^x$
    c)   $f^{-1}(x)=\ldots=\dfrac{1-x}{2}$
    d)   $g^{-1}(x)=\ldots=\dfrac{\ln{x}}{\ln{3}}$
    e)   $\displaystyle (g \circ f^{-1})(x)=g\big(\dfrac{1-x}{2}\big)=3^{\frac{1-x}{2}}$
    f)   $\displaystyle (f \circ g^{-1})(x)=f\Big(\frac{\ln{x}}{\ln{3}} \Big)=\ldots=1-\dfrac{\ln{x^2}}{\ln{3}}$
    g)   $\displaystyle (f^{-1} \circ g)(x)=f^{-1}\big( 3^x \big) = \ldots = \dfrac{1-3^x}{2}$
    h)   $\displaystyle (g^{-1} \circ f)(x)=g^{-1}\big(1-2\,x\big)=\ldots=\dfrac{\ln{(1-2\,x)}}{\ln{3}}$
    i)   $\displaystyle (f^{-1} \circ g^{-1})(x)=f^{-1}\Big( \dfrac{\ln{x}}{\ln{3}}\Big)=\ldots=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\ln{x}}{\ln{9}}$
    j)   $\displaystyle (g^{-1} \circ f^{-1})(x)=g^{-1}\Big( \dfrac{1-x}{2}\Big)=\ldots=\dfrac{\ln{\big(\frac{1-x}{2}}\big)}{\ln{3}}$
    k)   $\displaystyle \big(f \circ g\big)^{-1}(x)=[\text{propietat}]=(g^{-1} \circ f^{-1})(x)=\dfrac{\ln{\big(\frac{1-x}{2}}\big)}{\ln{3}}$
    l)   $\displaystyle \big(g \circ f\big)^{-1}(x)=[\text{propietat}]=(f^{-1} \circ g^{-1})(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\ln{x}}{\ln{9}}$
$\square$

Diversos tipos de funciones

[gráficas de distintintas funciones ( Geogebra )]

[nota del autor]

Funciones inyectivas, exhaustivas y biyectivas. ( Artículo escrito en catalán ).

Producte cartesià de dos conjunts:
Donats dos conjunts
$A=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$
i
$B=\{b_1,b_2,\ldots,b_m\}$
anomenem producte cartesià de $A$ per $B$ i es designa per $A \times B$ al conjunt $n\cdot m$ de parells ordenats
$A \times B= \{(a_i,b_j): i=1,2,3,\ldots,n \quad j=1,2,3,\ldots, m\}$

Relació binària:
Donats dos conjunts $A$ i $B$, i el seu producte cartesià $A \times B$, es defineix una relació binària $\mathcal{R}$ entre els conjunts $A$ i $B$ com un subconjunt $G$ de $A \times B$. Llavors, donat un parell ordenat $(x,y) \in G$, direm que $x$ està relacionat amb $y$ ( o que a $x$ li correspon $y$ ) i s'expressa $x \overset{\mathcal{R}}{\rightarrow} y $.

La representació gràfica del conjunt de parells ordenats $G=\{(x,y)| x \overset{\mathcal{R}}{\rightarrow} y \;,\; x\in A \; i \; y\in B\}$ s'anomena graf de la relació binària entre $A$ ( conjunt inicial o de partida ) i $B$ ( conjunt final o d'arribada ).

Donada, doncs, la relació binària $\mathcal{R}$, al conjunt d'elements $\{x: (x,.)\in G \subset A \times B \}$, és a dir, als elements de $A$ als quals els correspon algun element de $B$ per la relació binària $\mathcal{R}$ s'amena conjunt objecte ( o domini de $\mathcal{R}$ ) i al subconjunt de $B$ format pels elements que són imatge d'algun element del conjunt objecte ( és a dir el conjunt de les antiimatges ) s'anomena conjunt imatge.

Relacions funcionals (aplicacions):
Si a cada element del conjunt objecte li correspon $0$ o $1$ element del conjunt imatge direm que la relació binària $\mathcal{R}$ definida entre $A$ i $B$ és de tipus funcional ( o que $\mathcal{R}$ és una aplicació ). Tractant-se d'una aplicació ( o relació funcional ) el conjunt objecte s'anomena domini d'existència ( o camp d'existència ), i, al conjunt imatge recorregut.

Aplicacions entre conjunts numèrics (funcions numèriques):
En particular, si els conjunts d'inici i d'arribada ( i, per tant, el camp d'existència i el recorregut ) són conjunts numèrics, parlarem de funcions numèriques.

Exemples de relacions binàries que són aplicacions:
Exemple:   Una successió com ara la de terme general $f(n)=n+1$ és una aplicació definida de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}$ ( $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ ) i, per tant, és una funció numèrica; el seu gràfic és un conjunt de punts aïllats i, per això, anomenem a aquest tipus de funcions ( com ara, les successions ), funcions discretes.

Exemple:   Una aplicació definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ ( $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ) , com ara, $f(x)=x+1$ és una funció numèrica ( el gràfic és una recta, i el seu gràfic és un traç continu).

Exemple:   Una relació binària definida de $\mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ en $\mathbb{R}$
( $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ ), com ara, $f(x)=\left|\sqrt{x}\right|$ ( valor absolut de l'arrel quadrada ) és una aplicació ( funció numèrica) ja que la presència de l'operació valor absolut evita que hi hagi dues imatges per a un mateix valor $x$ del domini d'existència, la qual cosa la invalidaria com aplicació.

Exemples de relacions binàries que no són aplicacions:
Exemple:   Una relació binària definida de $\mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ en $\mathbb{R}$
( $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ ), com ara, $f(x)=\sqrt{x}$ ( arrel quadrada ) no és una aplicació perquè és bivaluada ( a un mateix element del conjunt objecte li corresponen dues imatges: una positiva i l'altra negativa; per exemple, $\sqrt{4}=\pm 2$ ).

Tipus de funcions (aplicacions):
Una funció pot ser:
  aplicacions injectives
Una funció $f$ és injectiva si donats dos o més valors iguals del seu recorregut ( codomini ), llavors les seves antiimatges també són iguals.
  aplicacions exhaustives
Una funció $f$ és exhaustiva si per ta tot valor del seu recorregut ( o codomini ) existeix antitimatge.
  aplicacions bijectives
Una funció $f$ és bijectiva si és injectiva i exhaustiva.

Exemple de funció que és injectiva:
La funció $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ de finida de la forma $y \equiv f(x)=x+1$ és injectiva perquè per a un valor donat del seu recorregut ( codomini ) $y_k$ exiteixen un únic valor com antiimatge: $x_{k}=y_{k}-1$ .


Exemple de funció que no és injectiva:
La funció $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ de finida de la forma $f(x)=x^2$ no és injectiva perquè per a un valor donat del seu recorregut ( codomini ) $y_k$ exiteixen dues antiimatges $+\left|\sqrt{y_k}\right|$   i   $-\left|\sqrt{y_k}\right|$; per exemple, donat $y_{k}=4$, trobem dues antiimatges diferents: $x_{k_1}=-2$ i $x_{k_2}=2$.

Exemple de funció que és exhaustiva:
La funció $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ de finida de la forma $y \equiv f(x)=x+1$ és injectiva perquè per a qualsevol parell de valors iguals del seu recorregut ( $y_1 = y_2$ ), llavors les respectives antiimatges ( $x_1=y_1-1$   i &   $x_2=y_2-1$ ) també són iguals.

Exemple de funció que no és exhaustiva:
La funció $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ de finida de la forma $y \equiv f(x)=x^2$ no és exhaustiva perquè tots els valors negatius del seu recorregut ( que és, segons la definició, $\mathbb{R}$ ), no tenen antiimatge; per exemple, $y=-1$ no té antiimatge perquè $\sqrt{-1}$ no és un nombre real.   Nota: Evidentment, si es redefineix el recorregut ( o codomini ) de la forma $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ sí que és exhaustiva.

Exemple de funció que és bijectiva:
La funció $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x+1$ és bijectiva perquè és injectiva i exhaustiva.

Exemple de funció que no és bijectiva:
La funció $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x^2$ no és bijectiva, atès que no és exhaustiva ni injectiva.

Exemple de funció que no és bijectiva:
La funció $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x^2$ no és bijectiva perquè, malgrat sí que és exhaustiva en haver redefinit el recorregut (vegeu un exemple anterior), no és injectiva.

[nota del autor]

Ejemplo de trazo ( gráfico ) en un diagrama cartesiano que no representan una función. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu una correspondència definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$, el gràfic cartesià de la qual és una recta perpendicular a l'eix d'abscisses. Podem dir que és una funció aquesta correspondència ?.

Nota:     Recordem que una correspondència entre un conjunt $A$ i un conjunt $B$ és aplicació (aquí, funció numèrica) si a cada element de $A$ li correspon $0$ ó $1$ element de $B$.

Solució:
Si $P(k,0)$ és el punt d'intersecció de la recta $r$ [ que és perpendicular a l'eix $Ox$ i que, per tant, té per equació $r:\,x=k$ ( on $k$ és una constant ) ] amb l'eix d'abcsisses, és clar que aquesta correspondència no és una funció ( o aplicació ), perquè a un mateix ( i únic) valor $k$ del conjunt original li correspon infinits nombres reals com a imatge.
$\square$

[nota del autor]