Un ejemplo de clasificación y caracterización de cónicas

Queremos estudiar la siguiente cónica: $\mathcal{C}: 2x^2+4y^2+5x-4y-1=0$$

Hemos visto que, dada una curva cónica de ecuación (general) $$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$ y siendo $\Delta:=b^2-4ac$ se tiene que ésta corresponde a una elipse si $\Delta \lt 0$; a una hipérbola si $\Delta \gt 0$ y a una parábola si $\Delta=0$

En el caso que nos ocupa, $a=2$, $b=0$ y $c=4$, por lo que $\Delta = 0^2 - 4\cdot 2 \cdot 4 = -32 \lt 0$, luego la ecuación general dada corresponde a una elipse.

Para encontrar sus elementos característicos, transformaremos la ecuación general en la ecuación reducida $$\mathcal{C}: \dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1 \quad (1)$$ donde $C(x_C,y_C)$ es el centro de la elipse; y, $a$ y $b$ son sus semiejes.

Empecemos las transformaciones,
$2x^2+4y^2+5x-4y-1=0$
  $(2x^2+5x)+(4y^2-4y)-1=0$
    $(x^2+\frac{5}{2}x)+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=\frac{0}{2}$
      $(x^2+\frac{5}{2}x)+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=0$
        $(x+\frac{5}{4})^2-(\frac{5}{4})^2+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=0$
          $(x+\frac{5}{4})^2-\frac{25}{16}+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=0$
            $(x+\frac{5}{4})^2+(2y^2-2y)-\frac{33}{16}=0$
              $\frac{1}{2}\cdot (x+\frac{5}{4})^2+\frac{1}{2}\cdot (2y^2-2y)-\frac{1}{2}\cdot \frac{33}{16}=0$
                $\dfrac{(x+\frac{5}{4})^2}{2}+\frac{2}{2}\cdot (y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                  $\dfrac{(x+\frac{5}{4})^2}{2}+(y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                    $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{2}+(y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                      $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                        $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2-\frac{33}{32}=0$
                          $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2-\frac{33}{32}=0$
                            $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}-\frac{33}{32}=0$
                              $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-\frac{41}{32}=0$
                                $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{1^2}-\frac{41}{32}=0$
                                  $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{1^2}=\frac{41}{32}$
                                    $\dfrac{1}{\frac{41}{32}}\cdot \dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+\dfrac{1}{\frac{41}{32}}\cdot \dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{1^2}=\dfrac{1}{\frac{41}{32}}\cdot \frac{41}{32}$
                                      $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{\frac{41}{32}\cdot (\sqrt{2})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{\frac{41}{32}\cdot 1}=1$
                                        $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{\frac{41}{16}})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{(\sqrt{\frac{41}{32}})^2}=1 \quad (1')$

Comparando (1) con (1'), es claro que: $x_C=-\frac{5}{4}$, $y_C=\frac{1}{2}$, y por tanto el centro es el punto $C(-\frac{5}{4},\frac{1}{2})$, siendo las ecuaciones de los ejes de la elipse: $\text{e}_x:x=-\frac{5}{4}$ y $\text{e}_y:y=\frac{1}{2}$ y ; $a=\sqrt{\frac{41}{16}}$, $b=\sqrt{\frac{41}{32}}$. Por otra parte, sabemos que la excentricidad de una elipse se define como $e:=\dfrac{c}{a}$, donde $c$ es la distancia del centro de la elipse a los focos, cumple la relación $c^2=a^2-b^2$ -Nota: recordemos, sin embargo, que en una hipérbola, por el mismo significado del parámetro $c$ la relación que se verifica es $c^2=a^2+b^2$-, luego $c=\sqrt{(\sqrt{\frac{41}{16}})^2-(\sqrt{\frac{41}{32}})^2}=\sqrt{\frac{41}{16}-\frac{41}{32}}=\sqrt{\frac{41}{32}}$, por consiguiente, $e=\dfrac{ \sqrt{\frac{41}{32}}} {\sqrt{\frac{41}{16}}} =\sqrt{16}{32}=\sqrt{1}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071 \lt 1$, como debe ser tratándose de una elipse.

Calculemos ahora las coordenadas de los focos, $F$ y $F'$:
Sabemos que:
  $x_F=x_C+\text{dist}(C,F)=x_C+c=-\dfrac{5}{4}+\sqrt{\frac{41}{32}}$, y $y_F=y_C=\frac{1}{2}$, luego $F(-\frac{5}{4}+\sqrt{\frac{41}{32}}\,,\,\frac{1}{2})$
  $x_F'=x_C-\text{dist}(C,F')=x_C-\text{dist}(C,F)=x_C-c=-\dfrac{5}{4}-\sqrt{\frac{41}{32}}$, y $y_F'=y_C=\frac{1}{2}$, luego $F'(-\frac{5}{4}-\sqrt{\frac{41}{32}}\,,\,\frac{1}{2})$

Y, finalmente, los cuatro vértices de esta elipse, $V_{\text{eje horizontal}}$ y $V'_\text{eje horizontal}$, y $V_\text{vertical}$ y $V'_\text{vertical}$:

    $V_{\text{eje horizontal}}=( -\dfrac{5}{4}+\sqrt{\frac{41}{16}}, \frac{1}{2})$
    $V'_\text{eje horizontal}=( -\dfrac{5}{4}-\sqrt{\frac{41}{16}}, \frac{1}{2})$
    $V_\text{vertical}=( -\dfrac{5}{4}, \dfrac{1}{2}+\sqrt{\frac{41}{32}})$
    $V'_\text{vertical}=( -\dfrac{5}{4}, \dfrac{1}{2}-\sqrt{\frac{41}{32}})$
$\diamond$

Clasificación de dos curvas cónicas y estudio de la incidencia entre ellas

ENUNCIADO. Se consideran las curvas cónicas $\mathcal{C}_1\equiv x^2+y^2-4x-12=0$ y $\mathcal{C}_2\equiv 9\,x^2+16\,y^2-36\,x-108=0$. Dígase a qué tipo de cónicas corresponde cada una de ellas y estúdiese la incidencia de dichas curvas.

SOLUCIÓN.
$\mathcal{C}_1\equiv x^2+y^2-4x-12=0$
  $\mathcal{C}_1\equiv (x-2)^2-4+y^2-12=0$
    $\mathcal{C}_1\equiv (x-2)^2+(y-0)^2=4^2$, luego esta curva es una circunferencia de centro $(2,0)$ y radio $r=4$

$\mathcal{C}_2\equiv 9\,x^2+16\,y^2-36\,x-108=0$
  $\mathcal{C}_2\equiv x^2+\dfrac{16}{9}\,y^2-4\,x-12=0$
    $\mathcal{C}_2\equiv (x-2)^2-4+\dfrac{16}{9}\,y^2-12=0$
      $\mathcal{C}_2\equiv (x-2)^2+\dfrac{16}{9}\,y^2=16$
        $\mathcal{C}_2\equiv \dfrac{(x-2)^2}{16}+\dfrac{(y-0)^2}{9}\,y^2=1$
          $\mathcal{C}_2\equiv \dfrac{(x-2)^2}{4^2}+\dfrac{(y-0)^2}{3^2}\,y^2=1$, tratándose pues de una elipse de centro $(2,0)$; semiejes $a=4$ y $b=3$

Los vértices de la elipse son $A_{2}(4+2,0)$, $A'_{2}(-4+2,0)$; $B_{2}(0,3)$ y $B'_{2}(0,-3)$. Y los de la circunferencia $A_{1}(4+2,0)$, $A'_{1}(-4+2,0)$; $B_{1}(0,4)$ y $B'_{1}(0,-4)$. Por consiguiente la elipse $\mathcal{C}_2$ es tangente interior a la circunferencia $\mathcal{C}_1$ en $A_{1}=A_{2}$ y en $A'_{1}=A'_{2}$
$\square$

Ecuación general cuadrática de una cónica. Giro de los ejes de coordenadas. Discriminante. Clasificación de una cónica a partir del discriminante.

Clasificación de secciones cónicas a partir de la ecuación cuadrática general que la describe

ENUNCIADO.
Clasifíquense las siguientes secciones cónicas a partir de la ecuación cuadrática general que describe las mismas

                        $\mathcal{C}:\,a\,x^2+b\,xy+c\,y^2+d\,x+e\,y+f=0$

a)   $y^2+3x+5y-8=0$
b)   $2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0$
c)   $y^2 + x - y -4 =0$
d)   $x^2+xy+y^2-1=0$
e)   $x^2-y^2+2xy+3=0$
f)   $x^2+y^2+4y-x+1=0$

SOLUCIÓN.
Recordemos el criterio de clasificación basado en el signo del determinante $\delta=b^2-4ac$
        Si $\delta$ < $0 \, \rightarrow$ elipse
        Si $\delta \succ 0$ $\, \rightarrow$ hipérbola
        Si $\delta$ = 0 $\, \rightarrow$ parábola

[Nota: No se ha incluido ninguno de loas casos particulares de degeneración, que llevan a los casos de rectas parelelas, secantes, coincidentes, o incluso rectes imaginarias, ... , puntos]
Recordemos también que si $b \ne 0$, los ejes de la cónica (o la recta de simetría, si se tractase de una parábola) no son paralelos a los ejes de coordenadas.

Entonces,
a)   $y^2+3x+5y-8=0$
      $b=0$, $a=0$, $c=1$, por tanto $\delta=0 \, \rightarrow$ parábola ( amb la recta de simetría paralela al eje de abscisas, puesto que $b = 0$ )

b)   $2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0$
      $b=0$, $a=2$, $c=4$, con lo cual $\delta=-32 \, \rightarrow$ elipse (con los ejes de la cónica paralelos a los ejes de coordenades, ya que $b = 0$ )

c)   $y^2 + x - y -4 =0$
      $b=0$, $a=0$, $c=1$, por tanto $\delta=0 \, \rightarrow$ parábola
(siendo la recta de simetría paralela al eje de abscisas, pues $b = 0$ )

d)   $x^2+xy+y^2-1=0$
      $b=1$, $a=1$, $c=1$, d'on $\delta=-4 \, \rightarrow$ elipse (con los ejes de la misma no paralelos a los ejes de coordenades, habida cuenta de que $b \ne 0$ )

e)   $x^2-y^2+2xy+3=0$
      $b=0$, $a=1$, $c=-1$, d'on $\delta=4 \, \rightarrow$ hipérbola (con los ejes de la misma no paralelos a los ejes de coordenadas, pues $b \ne 0$ )

f)   $x^2+y^2+4y-x+1=0$
      $b=0$, $a=c=1$, d'on $\delta=4 \, \rightarrow$ elipse, y, como $a=c$ es, en particular, una circumferència (excentricitat nula).
$\square$

Classificació de còniques

Enunciat:
Classifiqueu la següent corba cònica, determineu els seus elements i feu-ne una representació gràfica:
$y^2+2y-6x+1=0$

Resolució:
Veiem - fàcilment - que podem escriure l'equació de la forma
$(y+1)^2=6x \quad \quad (1)$
i, per tant, és obvi que correspon a una paràbola, que, en forma canònica (estàndard) és del tipus
$y^2=2px \quad \quad (2)$
que té el vèrtex situat a l'origen de coordenades, el focus en el punt
$(\dfrac{p}{2},0)$
i recta directriu d'equació
$x=-\dfrac{p}{2}$

En el cas que ens ocupa, el vèrtex es situa en el punt de coordenades $(-1,0)$, atès que (1) es pot posar de la forma
$\big(y-(-1)\big)^2=6x$

Per comparació de (1) i (2) trobem que
$2p=6$
és a dir
$p=3$

Llavors, considerant la translació [ de vector de translació $\vec{t}=(x_V,y_V)$, amb $x_V=0$ i $y_V=-1$ ] que transforma la paràbola donada per (2) en la paràbola donada per (1), el focus de la paràbola (1) ve donat per
$F(p/2,0+y_V)$
i com que el valor de $p/2$ és igual a $3/2$
$x_V=0$ i $y_V=-1$
és el punt
$F(\dfrac{3}{2},-1)$

la recta directriu corresponent a (2) - i també a (1) - té per equació
$rd:\,x=-\dfrac{p}{2}$
és a dir
$rd:\,x=-\dfrac{3}{2}$

Figura 1

$\square$

Clasificar la siguiente cónica ...

Enunciat:
Classifiqueu la següent corba cònica, determineu els seus elements, i feu-ne una representació gràfica: $2x^2+y^2-4x+2y+1=0$

Resolució:
Si escrivim l'equació general d'una cònica
$c_{xx}\,x^2+c_{xy}\,xy+c_{yy}\,y^2+c_{x}\,x+c_{y}\,y+c_{0}=0$
i comparem amb l'equació de la cònica de l'enunciat trobem que

$c_{xx}=2$, $c_{xy}=0$, i $c_{yy}=1$

per tant, el valor del discriminant
$\Delta=c_{xy}^2-4\,c_{xx}\,c_{yy}$
que ens ha de servir per classificar-la, és igual a
$0^2-4\cdot 2 \cdot 1 < 0$ la qual cosa ens diu que la cònica de l'enunciat és una el·lipse. I, donat que $c_{xy}=0$, podem afirmar que els eixos d'aquesta el·lipse són paral·lels als eixos de coordenades cartesianes.

Mirem d'assemblar l'equació donada (escrita en forma general) a l'equació de la forma

$\dfrac{x-x_0}{\square^2}+\dfrac{y-y_0}{\square^2}=1 \quad \quad (1)$

per tal de poder determinar les coordenades del centre de l'el·lipse $(x_0,y_0$
i el valor dels semieixos $a$ i $b$, que corresponen a les quantitats que figuraran als denominadors; sent el semieix major $a$ la més gran de les dues, i el semieix menor $b$, la més petita.

Tenint en compte que
$y^2+2y+1=(y+1)^2$
podem escriure l'equació de la cònica de la forma
$2x^2-4x+(y+1)^2=0$

Dividint per $2$ ambdós membres de la igualtat ens queda
$x^2-2x+\dfrac{(y+1)^2}{2}=0$
i, tenint en compte la identitat del quadrat del binomi, podem expressar
$x^2-2x$ de la forma $(x-1)^2-1$
per tant, la podrem escriure de la forma

$\dfrac{(x-1)^2}{1^2}+\dfrac{(y-(-1))^2}{\big(|\sqrt{2}|\big)^2}=1 \quad \quad (2)$

amb la qual cosa, és obvi - per comparació amb l'equació tipus (1) - quins són el semieixos major i menor i el valor que prenen
semieix major: $a=|\sqrt{2}|$
semieix menor $b=1$
i, també, quin és el centre $C$ de l'el·lipse, el punt de coordenades $(1,-1)$

Atenent la relació que lliga $a$, $b$ i $c$ (la meitat de la distància focal)
$a^2=b^2+c^2$, podem també calcular - a partir dels valors que ja coneixem de $a$ i de $b$ - el valor de $c$

$c=\left|\sqrt{\big(|\sqrt{2}|\big)^2-1^2}\right|=1$

I, d'aquí, trobem el valor de l'excentricitat, que es defineix com la raó aritmètica
$e=\dfrac{c}{a}$
substituint els valors calculats
$e=\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}$
que - com era d'esperar (estem estudiant una el·lipse) - pren un valor més petit que u.

Com que els eixos de simetria d'aquesta el·lipse són paral·lels a als eixos de coordenades, i passen pel centre de l'el·lipse $C(1,-1)$, podem escriure també les seves equacions de forma immediata:
$e_1:\,x=1$
$e_2:\,x=-1$

Calcularem, ara, les coordenades dels focus i dels vèrtexs; per això, cal partir de les coordenades dels focus i vèrtexs de l'el·lipse centrada a l'origen de coordenades, la qual té per equació l'e. reduïda

$\dfrac{x^2}{1^2}+\dfrac{y^2}{\big(|\sqrt{2}|\big)^2}=1$

per, després, fer la translació d'aquesta - segons el vector de translació $\vec{t}=(x_0,y_0)$ [ recordem que $x_0=1$ i que $y_0=-1$ ], obtenint les coordenades que cerquem (focus i vèrtexs de l'el·lipse amb el centre que toca).

vèrtexs de l'el·lipse (A, A'; B, i B') [recordem que $a=|\sqrt{2}|$ (semiexi major) i que $b=1$ (semieix menor, ja que $|\sqrt{2}| >1$; i tinguem en compte també, que, com que el valor del semieix major es troba al denominador del terme en $y$ (equació (2)), en aquest problema els vèrtexs A i A' es situen damunt de l'eix Oy, i els vèrtexs B i Bi, damunt de l'eix Oy ]:
$A(x_0,a+y_0)$   és a dir   $A(1,|\sqrt{2}|-1)$
$A'(x_0,-a+y_0)$   és a dir   $A'(1,-|\sqrt{2}|-1)$
$B(b+x_0,y_0)$   és a dir   $B(2,-1)$
$B'(-b+x_0,y_0)$   és a dir   $B(0,-1)$

focus de l'el·lipse [recordem que $c=1$] F i F' (es troben - en aquest problema - damunt de l'eix Oy, per la raó explicada al paràgraf anterior):
$F(x_0,c+y_0)$ és a dir $F(1,0)$
$F'(x_0,-c+y_0)$ és a dir $F(1,-2)$

$\square$

[nota del autor]