Derivada de un término polinómico
Sea la función $f(x)=x^n$ donde $n$ representa un número natural. Nos proponemos encontrar la regla de derivación, esto es, la estructura de la función derivada.
De la definición de derivada de una función, $$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$ podemos escribir $$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)^{n}-x^n}{\Delta x}$$ y, por el desarrollo de la potencia de un binomio, $$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x^n+C_{n,1}x^{n-1}\Delta x+...+C_{n,n-1}x \Delta x^{n-1}+\Delta x^{n})-x^n}{\Delta x}$$ Simplificando,
$$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{C_{n,1}x^{n-1}\Delta x+...+C_{n,n-1}x \Delta x^{n-1}+\Delta x^{n}}{\Delta x}$$ Finalmente, para resolver la indeterminación de tipo $\displaystyle\frac{0}{0}$ con la que nos encontramos, extraemos factor común de $\Delta x$ y volvemos a pasar al límite, con lo cual encontramos el siguiente resultado $$\displaystyle C_{n,1}x^{n-1}$$ que es igual a $$n\,x^{n-1}$$ es decir, $$f^{'}(x)=n\,x^{n-1}$$
Ejemplo 1:
Dada la función $f(x)=x^3$, su derivada es $f^{'}(x)=3\,x^2$
Derivada de un término potencial, con exponente ( en general ) real
Se demuestra -- puede hacerse con ayuda de los logaritmos -- que la regla de derivación anterior se extiende a exponentes reales; es decir, si $$f(x)=x^p$$ donde $k \in \mathbb{R}$, entonces $$f^{'}(x)=k\,x^{k-1}$$
Ejemplo 2:
Dada la función $f(x)=\sqrt{x}$, podemos derivarla mediante dicha regla. Para ello, reescribimos la función de la forma equivalente $$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$$; así que, siendo $k=1/2$, su derivada es igual a $f^{'}(x)=\frac{1}{2} \, x^{-\frac{1}{2}}$
Ejemplo 3:
Dada la función racional $f(x)=\frac{1}{x}$, podemos derivarla mediante esa misma regla si expresamos previamente la función a derivar como $f(x)=x^{-1}$; entonces,
como $k=-1$, su derivada es $$f^{'}(x)=-x^{-2}$$ que podemos expresar de forma equivalente así $$f^{'}(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}$$
Ejemplo 4:
Dada la función $$f(x)=x^{\pi}$$ la f. derivada es $$f^{'}(x)=\pi \, \cdot \, x^{\pi-1}$$
