ENUNCIADO. Disponemos de tres tarjetas, cuyas caras (anverso y reverso) pueden ser de color blanco o negro. Una de las tarjetas es blanca por las dos caras; otra es negra por las dos caras, y la restante tiene una cara blanca y otra cara negra. Se elige al azar una de las tres tarjetas y se pone encima de la mesa, sin conocer el color de la cara que queda oculta. ¿ Cuál es la probabilidad de que dicha tarjeta tenga sus dos caras del mismo color ? ¿ Y de que tenga sus dos caras de colores distintos ?
SOLUCIÓN.
Vamos a construir el espacio muestral de manera que todos sus elementos sean equiprobables; de esta forma, podremos aplicar la regla de Laplace para calcular las probabilidades pedidas.
Al realizar la elección al azar, elegimos la tarjeta y también el anverso o el reverso de la misma. Podemos imaginar las tarjetas numeradas, del $1$ al $3$: el número $1$ para la tarjeta con las dos caras blancas; el número $2$, para la tarjeta con las dos caras negras, y el número $3$ para la tarjeta con las dos caras de distinto color. Para anotar el color del anverso ( que consideraremos que es la cara que mira hacia arriba cuando ponemos la tarjeta elegida sobre la mesa ) convendremos escribirlo en mayúscula, con la letra que designa el color ( B para blanco y N para negro ), a la izquierda; y el de la otra cara, en minúscula, a la derecha. Así por ejemplo, $Bb|_1$ y $bB|_1$ son los elementos del espacio muestral que corresponden, uno y otro, a haber elegido la carta con las dos caras blancas ( que etiquetamos con un $1$ ).
Así, el espacio muestral viene dado por $$\Omega=\{Bb|_1,bB|_1,Nn|_2,nN|_2,Nb|_3,Bn|_3\}$$ Denotemos por $M$ al suceso ( compuesto ) "obtener una tarjeta con las dos caras del mismo color", y por $D$ al suceso (compuesto ) "obtener una tarjeta con las dos caras de distinto color".
Es evidente que $M=\{Bb|_1,bB|_1,Nn|_2,nN|_2\}$, siendo por tanto $\text{cardinal}(M)=4$. Por otra parte $D=\{Nb|_3,Bn|_3\}$, con $\text{cardinal}(D)=2$. Y, desde luego, $\text{cardinal}(\Omega)=6$
Entonces, por la regla de Laplace obtenemos:
$P(M)=\dfrac{\text{cardinal}(M)}{\text{cardinal}(\Omega)}$
$=\dfrac{4}{6}$
$=\dfrac{2}{3}$
y
$P(D)=\dfrac{\text{cardinal}(D)}{\text{cardinal}(\Omega)}$
$=\dfrac{2}{6}$
$=\dfrac{1}{3}$
NOTA. Al observar la tarjeta elegida con el color blanco ( o bien el negro ) boca arriba, y de tener que apostar a que ésta tuviese las dos caras del mismo color o bien a que ésta tuviese las dos caras de distinto color, es claro que deberíamos hacerlo por la primera opción, pues su probabilidad es el doble que la de la segunda opción.
$\square$
