Sentando chicos y chicas en una fila de butacas

ENUNCIADO. Cuatro chicos y cuatro chicas se quieren sentar en ocho butacas dispuestas en fila y numeradas. Se pide:
a) ¿ Cuántas ordenaciones son posibles ?
b) Antes de sentarse, sortean las butacas entre las ocho personas. ¿ Cuál es la probabilidad de que todas las chicas tengan al lado un chico ?.
c) Generalizar el resultado anterior para un $n/2$ chicos y $n/2$ chicas, siendo $n$ un número par

SOLUCIÓN.
a)
Como importa el orden, el número de ordenaciones posibles es $V_{8,8}=8!=40\,320$

b)
El espacio muestral $\Omega$ está formado por $8!$ sucesos, que son las ordenaciones posibles. Cada una de ellas tiene la misma probabilidad de ser elegida, luego podemos aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida.

Denotemos por $A$ al suceso "todas las chicas tienen al lado un chico", entonces $$P(A)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A)}{N} \quad \quad (1)$$ siendo $N=8!=40320$ ya que es el cardinal de $\Omega$.

Vamos ahora a calcular el número de casos favorables $N(A)$. Para ello emplearemos el método constructivo de recuento y el principio multiplicativo del recuento. Por tanto podemos anotar $$N(A)=8\cdot 4 \cdot \square \cdot \square \cdot \square \cdot \square \cdot \square \cdot \square$$ La primera butaca puede ser ocupada por cualquiera de las ocho personas, ya sea chico o bien chica, luego hay $8$ posibilidades de elección para dicho sitio. Así que la segunda butaca ha de estar ocupada por alguna de las cuatro chicas, luego hay $4$ posibilidades de elección para la misma.

Para elegir la ocupación de la tercera butaca, debemos escoger entre los tres chicos restantes, así que tenemos $3$ posibilidades; y, como la cuarta butaca, ha de estar ocupada por una chica, podemos elegirla entre las tres chicas restantes. Por tanto podemos escribir: $$N(A)=8\cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \square \cdot \square \cdot \square \cdot \square$$

Así, la quinta butaca ha de estar ocupada por un chico, y éste puede elegirse entre los dos chicos que aún no están sentados. La sexta butaca tendrá que estar ocupada por una chica, y como sólo faltan dos chicas por sentarse, podemos escribir $$N(A)=8\cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \square \cdot \square$$

La sexta butaca deberá estar ocupada por un chico y la octava por una chica. Como sólo faltan por elegir un chico y una chica, llegamos finalmente a $$N(A)=8\cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1=1152$$

Por consiguiente, de (1), podemos calcular ya la probabilidad pedida $$P(A)=\dfrac{1152}{40320} \approx 0,029$$

c)
Observando la regularidad que aparece en el cálculo de $N(A)$, al calcular esta cantidad para $n=2,4,6,8,\ldots$, podemos generalizar el resultado de la forma $$N(A)=n\cdot \dfrac{n}{2}\cdot \left( (\dfrac{n}{2}-1)^2 \cdot (\dfrac{n}{2}-2)^2 \cdot \overset{\underbrace{n-1}}{\ldots} \cdot 2^2\cdot 1\right)$$ Por otra parte $N=V_{n,n}=n!$, con lo cual $$P(A)=\dfrac{n\cdot \frac{n}{2}\cdot \left( (\frac{n}{2}-1)^2 \cdot (\frac{n}{2}-2)^2 \cdot \overset{\underbrace{n-1}}{\ldots} \cdot 2^2\cdot 1\right)}{n!}$$ que, simplificando, también podemos expresar de la forma $$P(A)=\dfrac{\left(n\cdot (\frac{n}{2}-1)!\right)^2}{2 \cdot n!}$$

NOTA. Calculando la probabilidad para valores de $n$ crecientes, podremos observar lo que de antemano podemos esperar: a medida que $n$ crece, $P(A)$ irá decreciendo.

$\square$