Enunciat:
Classifiqueu la següent corba cònica, determineu els seus elements i feu-ne una representació gràfica:
$y^2+2y-6x+1=0$
Resolució:
Veiem - fàcilment - que podem escriure l'equació de la forma
$(y+1)^2=6x \quad \quad (1)$
i, per tant, és obvi que correspon a una paràbola, que, en forma canònica (estàndard) és del tipus
$y^2=2px \quad \quad (2)$
que té el vèrtex situat a l'origen de coordenades, el focus en el punt
$(\dfrac{p}{2},0)$
i recta directriu d'equació
$x=-\dfrac{p}{2}$
En el cas que ens ocupa, el vèrtex es situa en el punt de coordenades $(-1,0)$, atès que (1) es pot posar de la forma
$\big(y-(-1)\big)^2=6x$
Per comparació de (1) i (2) trobem que
$2p=6$
és a dir
$p=3$
Llavors, considerant la translació [ de vector de translació $\vec{t}=(x_V,y_V)$, amb $x_V=0$ i $y_V=-1$ ] que transforma la paràbola donada per (2) en la paràbola donada per (1), el focus de la paràbola (1) ve donat per
$F(p/2,0+y_V)$
i com que el valor de $p/2$ és igual a $3/2$
$x_V=0$ i $y_V=-1$
és el punt
$F(\dfrac{3}{2},-1)$
la recta directriu corresponent a (2) - i també a (1) - té per equació
$rd:\,x=-\dfrac{p}{2}$
és a dir
$rd:\,x=-\dfrac{3}{2}$
$\square$
