Enunciat:
Donada la funció $f(x)=x^3$, calculeu:
a) El valor de la taxa de variació mitjana $\text{TVM}$ de la funció $f$ en el punt d'abscissa $x=2$, prenent $\Delta \, x = 0,1$
b) El valor de la derivada de $f$ per a $x=2$
c) L'equació de la recta tangent a la corba que descriu la funció donada, en el punt d'abscissa igual a $2$
d) Representeu conjuntament, en un sol diagrama cartesià: la corba donada per $f(x)$, el punt $P\big(2,f(2)\big)$, i la recta tangent a $f$ en el punt $P$
Resolució:
a)
La taxa de variació mitjana en un punt $Q(x,y)$ es calcula fent
$\text{TVM}_{Q(x,y)}=\dfrac{f(x+\Delta \, x)-f(x)}{\Delta \,x}$
I, en particular, en el punt $P$, d'abscissa $x=2$, i prenent un valor de $\Delta \, x$ igual a $1$ (enunciat), és igual a
$\text{TVM}_{P}=\dfrac{f(2+0,1)-f(2)}{0,1}$
i, calculant el segon membre
$\text{TVM}_{P}=\dfrac{f(2+0,1)-f(2)}{0,1}=\ldots=12,61$
b)
El valor de la derivada de $f$ per a $x=2$ representa el valor del pendent de la recta tangent a la corba donada per la funció $f$ en el punt d'abscissa donada i, segons la definició, és igual al límit del quocient incremental (o taxa de variació mitjana en el punt donat)
$\displaystyle f'(2)=\lim_{\Delta \,x \rightarrow 0} \, \dfrac{f(2+\Delta \, x)- f(2)}{\Delta \, x} \quad \quad (1)$
Desenvolupant el denominador de l'argument del límit $\Delta \, y$, trobem
$f(2+\Delta \, x)-f(2)=(2+\Delta \, x)^3-2^3$
que és igual a
$(\Delta \,x)^3 + 6\,(\Delta \, x)^2 + 12 \, \Delta \, x $
I, posant aquesta expressió en (1), ens queda
$\displaystyle \lim_{\Delta \,x \rightarrow 0}\, \dfrac{f(2+\Delta \, x)-f(2)}{\Delta \, x} = \lim_{\Delta \,x \rightarrow 0} \, \dfrac{(\Delta \,x)^3 + 6\,(\Delta \,x)^2 + 12 \, \Delta \, x }{\Delta \, x}$
Per desfer la indeterminació del tipus $0/0$ amb què ens trobem quan passem al límit, traiem $\Delta\,x$ com a factor comú de l'expressió del numerador i simplifiquem, obtenint
$\displaystyle \lim_{\Delta \,x \rightarrow 0}\, \bigg((\Delta\,x)^2 + 6\,(\Delta\,x)+ 12\bigg)=12$
és a dir
$f'(2)=12$
$\square$
c)
Per determinar l'equació de la recta tangent en el punt $P$ d'abscissa $x=2$ (de la corba donada per la funció $f$), decidim, primer de tot, expressar-la en forma explícita, perquè és la forma que s'obté amb més facilitat a partir de les dades que disposem
és a dir, l'escriurem
$\text{rt:}\,y=m\,x+k$
cal, doncs, calcular els valors dels coeficients $m$ i $k$
El pendent $m$ de la recta (tangent), és igual al valor de la derivada de la funció $f$ en aquest punt (calculat a l'apartat anterior: $f'(2)=12$), és a dir
$m=f'(2)=12$
llavors, podem escriure
$\text{rt:}\,y=12\,x+k \quad \quad (2)$
Ara, tan sols falta calcular el valor de l'ordenada a l'origen $k$, que determinarem tenint en compte que $P\big(2,f(2)\big) \, \in \text{rt}$
Com que $f(2)=8$, de (2) escriurem
$8=12 \cdot 2 + k$
i, aillant $k$, queda
$k=-16$
concloent que l'equació de la recta tangent a la corba $f(x)=x^3$ en el punt d'absicssa igual a $2$ s'escriu de la forma (forma explícita)
$\text{rt:}\,y=12\,x-16$
$\square$
d)
