Un exercici de càlcul de límits de successions

Enunciat:
Calculeu el límit:
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \big( \left|\sqrt{n^2-3n+2}\right|-n\big)$


Resolució:
Si passem al límit, ens trobem amb una indeterminació del tipus $\infty-\infty$, que podem resoldre multiplicant i dividint per l'expressió conjugada de l'argument del límit
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \big( \left|\sqrt{n^2-3n+2}\right|-n\big)$
és igual a
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{\Big( \big( \left|\sqrt{n^2-3n+2}\right|-n \big) \cdot \big( \left|\sqrt{n^2-3n+2}\right|+n \big)\Big)}{ \left|\sqrt{n^2-3n+2}\right|+n} $
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{-3n+2}{\left|\sqrt{n^2-3n+2}\right|+n } $
Observem que, ara, en tornar a passar al límit, obtenim una indeterminació del tipus
$\dfrac{\infty}{\infty}$
la qual resoldrem dividint numerador i denominador per $n$ (la potència de $n$ d'exponent més gran que trobem a l'expressió)
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{-3+\dfrac{2}{n}}{\left|\sqrt{1-\dfrac{3}{n}+\dfrac{2}{n^2}}\right|+1}=-\dfrac{3}{2} $
$\square$