Repartiendo cartas

ENUNCIADO. Consideremos una baraja española. Se dan seis cartas a un jugador. ¿ Cuál es la probabilidad de que las seis cartas sean del mismo palo ?.

SOLUCIÓN. Todas las cartas tienen la misma probabilidad de ser elegidas, por lo que podemos aplicar la regla de Laplace. Emplearemos el método combinatorio.

Denotemos por $A$, el suceso "obtener seis cartas de alguno de los cuatro palos". Procedemos a calcular el número de casos favorables $N(A)$ a dicho suceso, así como el número total de maneras de elegir seis cartas, $N$, de entre las $40$ cartas que tiene la baraja.

El número de maneras de elegir seis cartas del primer palo, o del segundo, o del tercero, o bien del cuarto palo, podemos calcularlo de la siguiente forma: Como hay $\binom{4}{1}$ maneras de elegir un determinado palo y $\binom{10}{6}$ maneras de elegir seis cartas de uno de dichos cuatro palos, entonces $N(A)=\binom{4}{1}\cdot \binom{10}{6}=840$ casos favorables a dicho suceso. Por otra parte, el número total, $N$, de maneras de dar seis cartas es $\binom{40}{6}=3\,838\,380$

Entonces, por la regla de Laplace, $$P(A)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A)}{N}=\dfrac{840}{3\,838\,380} \approx 0,00022 = 0,022\,\%$$

$\square$

Disponemos de tres tarjetas (...)

ENUNCIADO. Disponemos de tres tarjetas, cuyas caras (anverso y reverso) pueden ser de color blanco o negro. Una de las tarjetas es blanca por las dos caras; otra es negra por las dos caras, y la restante tiene una cara blanca y otra cara negra. Se elige al azar una de las tres tarjetas y se pone encima de la mesa, sin conocer el color de la cara que queda oculta. ¿ Cuál es la probabilidad de que dicha tarjeta tenga sus dos caras del mismo color ? ¿ Y de que tenga sus dos caras de colores distintos ?

SOLUCIÓN.
Vamos a construir el espacio muestral de manera que todos sus elementos sean equiprobables; de esta forma, podremos aplicar la regla de Laplace para calcular las probabilidades pedidas.

Al realizar la elección al azar, elegimos la tarjeta y también el anverso o el reverso de la misma. Podemos imaginar las tarjetas numeradas, del $1$ al $3$: el número $1$ para la tarjeta con las dos caras blancas; el número $2$, para la tarjeta con las dos caras negras, y el número $3$ para la tarjeta con las dos caras de distinto color. Para anotar el color del anverso ( que consideraremos que es la cara que mira hacia arriba cuando ponemos la tarjeta elegida sobre la mesa ) convendremos escribirlo en mayúscula, con la letra que designa el color ( B para blanco y N para negro ), a la izquierda; y el de la otra cara, en minúscula, a la derecha. Así por ejemplo, $Bb|_1$ y $bB|_1$ son los elementos del espacio muestral que corresponden, uno y otro, a haber elegido la carta con las dos caras blancas ( que etiquetamos con un $1$ ).

Así, el espacio muestral viene dado por $$\Omega=\{Bb|_1,bB|_1,Nn|_2,nN|_2,Nb|_3,Bn|_3\}$$ Denotemos por $M$ al suceso ( compuesto ) "obtener una tarjeta con las dos caras del mismo color", y por $D$ al suceso (compuesto ) "obtener una tarjeta con las dos caras de distinto color".

Es evidente que $M=\{Bb|_1,bB|_1,Nn|_2,nN|_2\}$, siendo por tanto $\text{cardinal}(M)=4$. Por otra parte $D=\{Nb|_3,Bn|_3\}$, con $\text{cardinal}(D)=2$. Y, desde luego, $\text{cardinal}(\Omega)=6$

Entonces, por la regla de Laplace obtenemos:
$P(M)=\dfrac{\text{cardinal}(M)}{\text{cardinal}(\Omega)}$
    $=\dfrac{4}{6}$
      $=\dfrac{2}{3}$
y
$P(D)=\dfrac{\text{cardinal}(D)}{\text{cardinal}(\Omega)}$
    $=\dfrac{2}{6}$
      $=\dfrac{1}{3}$

NOTA. Al observar la tarjeta elegida con el color blanco ( o bien el negro ) boca arriba, y de tener que apostar a que ésta tuviese las dos caras del mismo color o bien a que ésta tuviese las dos caras de distinto color, es claro que deberíamos hacerlo por la primera opción, pues su probabilidad es el doble que la de la segunda opción.
$\square$