Funció derivada de la funció recíproca d'una funció donada
Per comoditat, farem servir la notació $y_x$ per designar $f(x)$ i $y^{'}_{x}$ la derivada d'aquesta funció respecte de $x$. Semblantment, s'entén que $x_y$ representa la funció recíproca de $f(x)$, $f^{-1}(x)$, i $x^{'}_y$ la seva derivada.
Per començar a construir la derivada de la funció recíproca de $f(x)$, és a dir, de $y_x$, considerem el quocient incremental $\displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta y}$ per, després, passar al límit quan $\Delta \,x \rightarrow 0$ i, d'aquesta manera, obtenir $x^{'}_{y}$, és a dir $\big(f^{-1}(x)\big)^{'}$.
Notem que podem escriure aquest quocient incremental de la forma $\displaystyle\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{\Delta x}{\Delta y}$. En passar al límit quan $\Delta x$ i $\Delta y$ tendeixen a zero, per la definició de derivada, deduïm que $\displaystyle x^{'}_y=\frac{1}{y^{'}_x}$.
Tot seguit, aplicarem aquesta regla general de derivació de funcions recíproques a alguns casos particulars:
Derivada de la funció logaritme neperià
Sigui la funció (directa) $y_x=\ln{x}$ [ la notem d'aquesta manera i no de la forma habitual, $f(x)=\ln{x}$, perquè és una notació més còmoda per continuar amb els càlculs següents]
que, naturalment, és la funció recíproca (o inversa) de la funció $x_y=e^y$ [i, a la vegada, aquesta és recíproca de $y_x$, és clar].
A partir de la regla general, deduïda a dalt, podem escriure
$\displaystyle y^{'}_x=\dfrac{1}{(e^y)^{'}_y}$
i, com que la funció derivada de la funció exponencial $e^y$ és igual a si mateixa
$\big(e^y\big)^{'}=e^y$
trobem que el resultat de derivar la funció $y_x=ln(x)$
(recíproca de $x_y=e^y$ )
és igual a
$\displaystyle \frac{1}{e^y}$
és a dir
$y^{'}_{x}=\dfrac{1}{x}$
ja que $e^y=x_y$
Derivada de la funció recíproca de la funció sinus
Sigui la funció $y_x=\arcsin{x}$, funció recíproca de la funció $x_y=\sin{y}$.
A partir de la regla anterior podem escriure
$\displaystyle y^{'}_x=\frac{1}{(\sin{y})^{'}}$
tenint en compte que la funció derivada de la funció directa
$\displaystyle x_y=\sin{y}$
és igual a
$\displaystyle \cos{y}=\sqrt{1-\sin^{2}{y}}$
i que
$\displaystyle \sin^{2}{y}=x^2$
arribem a
$y^{'}_x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
Derivada de la funció recíproca de la funció cosinus
Sigui la funció $\displaystyle y_x=\arccos{x}$, funció recíproca de la funció $\displaystyle x_y=\cos{y}$
A partir de la regla general de derivació d'una funció recíproca podem escriure
$\displaystyle y^{'}_x=\frac{1}{(\cos{y})^{'}}$
i com que la funció derivada de la funció directa $x_y=\cos{y}$
és igual a
$\displaystyle -\sin{y}$ que podem escriure de la forma $-\sqrt{1-\cos^{2}{y}}$
i, tenint en compte, a més, que
$\cos^{2}{y}=x^2$
obtenim
$\displaystyle y^{'}_x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
Derivada de la funció recíproca de la funció tangent
Sigui la funció $\displaystyle y_x=\arctan{x}$, recíproca de la funció $x_y=\tan{y}$.
De la regla deduïda per derivar funcions recíproques (en general), escriurem
$\displaystyle y^{'}_x=\frac{1}{(\tan{y})^{'}}$
I, atès que la funció derivada de la funció directa $x_y=\tan{y}$ és igual a
$\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}{y}}$
tenint en compte la identitat fonamental
$\displaystyle \sin^{2}{y}+\cos^{2}{y}=1$
i dividint a cada membre per $\cos^{2}{y}$ escriurem la identitat
$\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}{y}}=\frac{1}{1+\tan^{2}{y}}$
amb la qual cosa s'obté finalment
$\displaystyle y^{'}_x=\frac{1}{1+x^2}$
$\square$
