4. Calculeu $\sqrt{-i}$
Atès que l'índex del radical és igual a $2$, sabem d'antuvi que hem de trobar dos nombres complexos com a solució, de la forma $s=x+y\,i$
$\sqrt{-i}=x+y\,i$
elevant al quadrat en cada membre per poder desfer l'arrel quadrada del primer membre
$-i=(x+y\,i)^2$
i, desenvolupant el binomi al quadrat, trobem
$-i=x^2-y^2 + 2xy\,i$
Igualtant les parts reals i les parts imaginàries d'un i altre membres
$\left.\begin{matrix} x^2-y^2 = 0\\ \\ 2xy = -1\\ \end{matrix}\right\}$
Resolent aquest sistema d'equacions (per substitució) arribem a una equació polinòmica de grau quatre en $x$
$4x^4-1=0$
que, com és fàcil veure, té aquests quatre valors com a solució
$x_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$x_2=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$x_3=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,i$
$x_4=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,i$
d'entre els quals, tan sols tenen sentit, els dos primers, atès que representen la part real de les solucions que estem cercant
Llavors, substituint l'un i l'altre a la segona equació, arribem als valors de $y$ que tenen emparellats (després de racionalitzar i simplificar les expressions amb radicals que apareixen, càlculs addicionals senzills que no mostrarem aquí):
$y_1=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$y_2=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
A partir d'aquest resultats per a la part real i dels corresponents per a la part imaginària de les solucions de $\sqrt{-i}$, concloem que les solucions són:
$s_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,i$
i
$s_2=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,i$
$\square$
5. Calculeu el mòdul i l'angle polar del nombre complex: $z=-1-2\,i$
Calculem el mòdul $r_z$:
$r_z=\left| \sqrt{z \cdot \overline{z}} \right|$
com que $\overline{z}=-1+2\,i$
$z \cdot \overline{z} = (-1-2\,i)\cdot(1+2\,i) = \ldots = 5$
per tant
$r_z=\left|\sqrt{5}\right|$
Calculem l'angle polar $\theta$:
És important que, primer de tot, representem el nombre polar en el pla complex, ja que cal ubicar-ne l'afix en el quadrant que correspongui d'acord amb els valor de la part real, $-1$ i de la part imaginària $-2$
Observem que
$180º \prec \theta \prec 270º$
L'angle pintat de color vermell a la figura és el que obtenim directament de la calculadora
$\arctan{\Big(\dfrac{Im(z)}{Re(z)}\Big)}=\arctan{2} \approx 63º \, 26'$
i, tenint en compte que
$\tan{(\theta)} = \tan{(\theta +180º)}$
entenem que l'angle que és solució de l'exercici (l'angle del 3r quadrant, pintat de color verd a la figura) és igual a
$63º \, 26' + 180º$
és a dir
$\theta \approx 243º \, 26'$
6. Determineu la part real la part imaginària de $(2+3\,i)^4$
Desenvolupant la potència del binomi per la fórmula del binomi de Newton ens queda
$1\cdot 2^4 \cdot (3\,i)^0 + 4\cdot 2^3 \cdot (3\,i)^1$ $+ 6\cdot 2^2 \cdot (3\,i)^2+4\cdot 2^1 \cdot (3\,i)^3+$
$+1\cdot 2^0 \cdot (3\,i)^4$
on els coeficients que apareixen multiplicant davant de cada terme
$\{1,4,6,4,1\}$
són els nombres de la cinquena fila del triangle de Pascal (els nombres combinatoris de la fórmula del binomi de Newton)
Simplificant obtenim
$(2+3\,i)^4=\ldots=-119-120\,i$
$\square$
7. Considereu el nombre complex $z$, amb mòdul $r_z$ igual a $2$ i angle polar $\theta$ igual a $\pi/6$. Caculeu el seu complex conjugat $\overline{z}$, expressant-lo en forma cartesiana.
La forma trigonomètrica del nombre complex donat és
$z=2 \cdot \cos{ \big( \dfrac{\pi}{6} \big)} +2 \cdot \sin{ \big(\dfrac{\pi}{6}\big) } \, i $
tenint en compte que
$\sin{\big(\dfrac{\pi}{6}\big)}=\dfrac{1}{2}$
i
$\cos{\big(\dfrac{\pi}{6}\big)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
simplifiquem i ens queda
$z=\sqrt{3}+i$
llavors, el complex conjugat serà
$z=\sqrt{3}-i$
$\square$
8. Demostreu que, donat un nombre complex $z=a+b\,i$ ( $a \,,\, \in \mathbb{R}$ ), llavors es compleix que
$z \cdot \overline{z} = \overline{z} \cdot z = r^{2}_{z} $
on $\overline{z}$ és el complex conjugat de $z$, i $r_z$ representa el mòdul de $z$ (que és igual, també, al de $\overline{z}$)
$z \cdot \overline{z} = \overline{z} \cdot z$
atès que, per la propietat commutativa de la multiplicació de nombres reals
$(a+b\,i)\cdot (a-b\,i)$
és igual a
$(a-b\,i)\cdot (a+b\,i)$
(de fet, ja sabem - és ben senzill demostrar-ho - que la propietat commutativa per al producte de dos nombres complexos qualssevol també és vàlida)
i, desenvolupant qualsevol de les dues expressions anteriors, fent ús de la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma, trobem que és igual a
$a^2+b^2$
expressió que, evidentment, representa el quadrat del mòdul de $z$ (i també el de $\overline{z}$)
en efecte
$a^2+b^2=\big(\sqrt{a^2+b^2}\,\big)^2=r^{2}_{z}$
tal i com volíem demostrar.
$\square$
