Recta mediatriz de un segmento

ENUNCIADO. Se considera el segmento $s=[A,B]$, siendo $A(1,3)$ y $B(2,6)$. Determínese la ecuación de la recta mediatriz $r_m$.

SOLUCIÓN. La recta mediatriz viene dada por el siguiente lugar geométrico $$r_m=\{X(x,y):\text{dist}(X,A)=\text{dist}(X,B)\}$$ De la condición, y de la definición de distancia euclídea entre dos puntos podemos escribir $$\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}=\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}$$ Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad, $$(x-1)^2+(y-3)^2=(x-2)^2+(y-6)^2$$ desarrolando las potencias de los binomios $$x^2-2x+1+y^2-6y+9=x^2-4x+4+y^2-12y+36$$ y simplificando, llegamos a $$r_m\equiv x+3y-10=0$$
$\square$

Determinar la recta mediatriz del segmento ...

Determineu l'equació de la recta mediatriu del segment que té per punts extrems A(-1,1) i B(3,-4)

Resolució:
La recta mediatriu del segment AB és el lloc geomètric dels punts $P(x,y)$ tals que $d(P,A)=d(P,B)$

concretant aquesta condició de la forma

$\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2} = \sqrt{(x-x_B)^2+(y-y_B)^2}$

i, donats els valors de les coordenades de A i B, queda

$\sqrt{(x-(-1))^2+(y-1)^2} = \sqrt{(x-3)^2+(y-(-4))^2}$

els arguments de les arrels han de ser iguals

$(x-(-1))^2+(y-1)^2 = (x-3)^2+(y-(-4))^2$

desenvolupant les potències dels binomis

$x^2+2x+1+y^2-2y+1 = x^2-6x+9+y^2-8y+16$

els termes quadràtics s'anul·len, i, acabant de simplificar, trobem l'equació en forma general de la recta mediatriu $rm$ del segment AB:

$rm:\;8x+6y-23=0$

$\square$

[nota del autor]