Acerca de la identidad de Bézout

Un resultado básico relacionado con el máximo común divisor de dos números (enteros), distintos de cero, $a,b$ —y lo notaremos de la forma $\text{m.c.d.}(a,b)$—, es la denominada identidad de Bézout, que dice así:

Sea $\mathbb{Z} \ni d=\text{m.c.d.}(a,b)$, entonces existen infinitas parejas de números enteros $x,y$, tales que $d=ax+by$.

Veamos un ejemplo:
Consideremos los números enteros $a=4$ y $b=2$ —para hacerlo sencillo, los hemos elegido positivos—. Sabemos que el máximo común divisor de estos dos números es $d=\text{m.c.d.}(4,2)=2$, entonces, según el resultado que nos ocupa (identidad de Bézout), podremos encontrar otros dos números $x,y$ (no necesariamente únicos) tales que $2=4x+2y$. En efecto, es claro que una posibilidad es $x_1=0$ e $y_1=1$, entre otras infinitas parejas que satisfacen esta igualdad, y se puede justificar que son de la forma $$\left\{\begin{matrix}x=x_1+\lambda\,\dfrac{b}{d} \\ y=y_1-\lambda\,\dfrac{a}{d}\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ es decir, en el caso que nos ocupa: $$\left\{\begin{matrix}x=0+\lambda\,\dfrac{2}{2}=\lambda \\ y=1-\lambda\,\dfrac{4}{2}=1-2\,\lambda\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ esto es $$\{(0,1),(1,-1),(-1,3),(2,-3),(-2,5),\ldots\}$$

Otro ejemplo:
Dados los números enteros $a=1170$ y $b=363$, nos proponemos encontrar los pares de valores enteros $x,y$ tales que $x\,a+y\,b=d$ (donde $d=\text{m.c.d.}(a,b)$. Lo primero que haremos es calcular el máximo común divisor; y, como vamos a ver enseguida, nos vendrá muy bien hacerlo aplicando el algoritmo de Euclides. Sigamos los pasos necesarios:
  (1)   $1170=363\cdot 3+81$
  (2)   $363=81\cdot 4+39$
  (3)   $81=39\cdot 2+3$
  (4)   $39=13\cdot 3+0 \Rightarrow d=3$
Procedemos ahora a encontrar una solución particular $x_1,y_1$:
  De (3), $3=81-39\cdot 2$
    y teniendo en cuenta (2), podemos escribir que
    $3=81-(363-81\cdot 4)\cdot 2=81-363\cdot 2 +81\cdot 8=9\cdot 81 -263\cdot 2$
    que, siguiendo a partir de (1), puede escribirse de la forma
    $3=9\cdot 81 -263\cdot 2=9\cdot 1170-27\cdot 363-363\cdot 2 = 9\cdot 1170 -29\cdot 363 \Rightarrow x_1=9$ y $y_1=-29$
Con lo cual, como ya sabemos la estructura de la solución general, llegamos a que ésta es: $$\left\{\begin{matrix}x=9+\lambda\,\dfrac{363}{3} \\ y=-29-\lambda\,\dfrac{1170}{3}\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}x=9+121\,\lambda \\ y=-29-390\,\lambda\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ obteniendo (dando valores arbitrarios a $\lambda$: $0,\pm1,\pm2\,\ldots$) las infinitas parejas de que consta la solución: $$\{(9,-29),(130,-419),(-112,361),\ldots\}$$

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Una utilidad muy importante de la identidad de Bézout es la de formar parte del proceso de resolución de una ecuación diofántica lineal, $cx+dy=k$, siendo también $c,d$ y $k$, números enteros, y siendo $k|d=\text{m.c.d.}(a,b)$. En estas condiciones, la solución general de dicha ecuación diofántica lineal está formada por un conjunto de parejas de números enteros $x$ e $y$. Para encontrar dicha solución general, a partir de una solución particular, se parte del resultado básico de la identidad de Bézout. En cursos superiores, aprenderéis a resolver este tipo de ecuaciones. Si sóis personas curiosas, os sugiero que os avancéis y leáis este otro artículo —como ampliación opcional— para ver como se hace.

Nota: El nombre que se le da a estas ecuaciones de números enteros viene del matemático Diofanto (s. III d.C.), quien en su obra Arithmetica expuso la resolución de algunas de dichas ecuaciones. $\diamond$

El Pequeño Teorema de Fermat ...

Pequeño teorema de Fermat

Dado un entero $p$, primo, y un número entero $a$ tal que $a,p$ sean coprimos ($\text{m.c.d.}(a,p)=1$), entonces $a^{p-1}\equiv 1 (\text{mod}\, p)$ —afirmación equivalente a $a^p ≡ a (\text{mod}\, p)$—. Por ejemplo, si $p=3$ y $a=4$, se tiene que el residuo de la división euclídea de $a^p=4^{3-1}=16$ entre $3$ es $1$, como debe ser; esto es, el residuo de la división $4^3=64$ entre $3$ es igual a $4$.

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Observación. Una consecuencia de este teorema es la siguiente: Como al dividir $a^{p-1}$ entre $p$ se obtiene resto igual a $1$, existe un $k\in \mathbb{Z}$ para el cual $a^{p-1}=k\, p +1$, multiplicando por $a$ en cada miembro de la igualdad, se tiene que $a^{p}= k \,p \,a + a$, luego $a^{p} - a$ es múltiplo de $p$ puesto que $k\,a$ és también un número entero.

Ejemplo. Sea $a=9$ y $p=2$ (primo), siendo $(9,2)=1$ y cumpliéndose así las condiciones suficientes del teorema. Comprabamos, en efecto, que $a^p=9^2=81 \mod 2 = 1$, coincidiendo con $a=9 \mod 2 =1$; y, además, $a^p-a \in (\overset{.}{p})$ pues $81-8=72 \in (\overset{.}{2})$. \diamond$

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Cálculo del máximo común divisor de tres números enteros positivos. Un ejercicio de programación en C/C++

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// m.c.d. de tres nombres enters positius 
// 
// Joan Aranès Clua
// data: 17/12/2001
// 
// Aquest programa calcula el m.c.d.{m,n,p}
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#include <stdio.h>

//declaració de la funció que calcula el m.c.d. de dos n. enters positius:
int mcd(int,int);
// 

void main()
{
    int m,n,p; // variables corresponents a les dades d'entrada

    printf("Introdu\x08Bu tres nombres enters separats per un espai\n");
    scanf("%d %d %d",&m,&n, &p);
    printf("\n\nmcd(%d,%d,%d) = %d\n",m,n,p, mcd(mcd(m,n),p));
}



int mcd(int x,int y)
{

    int reste; // reste i quocient de les divisions
	int dividend,divisor;

	// DIVISIONS SUCCESSIVES
	// primera divisió:
      dividend=(x>y)?x:y;
	divisor=(y<x)?y:x;
	reste=dividend%divisor;

	// per a les divisions següents
	// s'asigna al nou divisor  el valor de l'antic reste
	// fins arribar a una divisió amb reste nul
	// el divisor d'aquesta darrera divisió és el m.c.d.{x,y}

    while(reste>0)
	{
		dividend=divisor;
		divisor=reste;
            reste=dividend%divisor; //         
      }

    return divisor;

}