Funció derivada del producte de dos funcions derivables
Considerem la funció $\displaystyle f(x)=g(x)\,\cdot\,h(x)$. De la definició de derivada
$\displaystyle y'_{x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
tenim que
$\displaystyle f'_{x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta (g(x)\,\cdot\,h(x))}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(g(x+\Delta x)\,\cdot\,h(x+\Delta x)-g(x)\,\cdot\,h(x))}{\Delta x}$
Tenint en compte que
$\displaystyle g(x+\Delta x)=g(x)+\Delta g(x)$ i $\displaystyle h(x+\Delta x)=h(x)+\Delta h(x)$, podrem escriure el numerador del límit de la forma
$(g(x)+\Delta g(x))\,\cdot\,(h(x)+\Delta h(x))-g(x)\,\cdot\,h(x)$
que, desenvolupat i simplificat, és igual a
$g(x)\,\cdot\,h(x)+\Delta (g(x)) \,\cdot\,h(x)+\Delta (h(x))\,\cdot\,g(x) + (\Delta x)^2 - g(x)\,\cdot\,h(x)$
Simplificant escrivim
$h(x)\,\cdot\,\Delta (g(x)) +g(x)\,\cdot\,\Delta (h(x)) + (\Delta x)^2$
El quocient incremental el tornem a escriure, ara, de la forma
$\dfrac{h(x)\, \cdot \,\Delta (g(x)) +g(x)\,\cdot\,\Delta (h(x)) + (\Delta x)^2}{\Delta x}$
i simplificant
$\dfrac{h(x)\,\cdot\,\Delta (g(x))}{\Delta x} +\dfrac{g(x)\,\cdot\,\Delta (h(x))}{\Delta x} + \dfrac{(\Delta x)^2)}{\Delta x}$
Finalment, en passar al límit, escriurem
$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{h(x)\,\cdot\,\Delta (g(x))}{\Delta x} +\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{g(x)\,\cdot\,\Delta (h(x))}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(\Delta x)^2)}{\Delta x}$
Tenint en compte els factors constants en l'operació de límit podem posar-ho de la forma,
$\displaystyle h(x)\,.\,\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta (g(x))}{\Delta x} +g(x)\,.\,\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta (h(x))}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta x$
I, finalment, tenint en compte que el tercer sumand és nul i la pròpia definició de derivada per a les funcions $g(x)$ i $h(x)$ trobem
$f'(x)=h(x)\,\cdot \,g'(x)+g(x)\,\cdot \,h'(x)$
$\square$
