Funció derivada del quocient de dos funcions derivables
Considerem la funció
$\displaystyle f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$
De la definició de derivada (límit del quocient incremental) podem començar escrivint
$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\dfrac{\Delta(\dfrac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}$
Seguint un procés semblant al de la deducció de la regla de derivació del producte de funcions tindrem
$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{g(x)+\Delta (g(x))}{h(x)+\Delta (h(x))}-\dfrac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}$
Reduint a comú denominador (el denomidador), simplificant i passant al límit tot tenint en compte la pròpia definició de derivada per a les funcions que intervenen en el quocient de funcions ($g(x)$ i $h(x)$) obtindrem finalment
$f'(x)=\dfrac{g'(x)\,.\,h(x)-h'(x)\,.\,g(x)}{(h(x))^2}$
$\square$
