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martes, 30 de mayo de 2017
Elaboración de un programa en GNU Octave que resuelve la distribución de bolas idénticas entre un cierto número de personas
El número de maneras de repartir $3$ bolas idénticas entre $n$ personas es un problema de combinaciones con repetición (lo representamos de la forma $CR_{n,3}$, lo cual también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{n}{3}\right)$), y es igual a $$\displaystyle \binom{3+n-1}{3}=\binom{n+2}{3}=\dfrac{(n+2)!}{3!\cdot (n-1)!}=\dfrac{(n+2)(n+1)n}{6}$$ A continuación se muestra el código del programa escrito en el lenguaje de programación GNU Octave, mediante el cual, podemos visualizar cada uno de los repartos posibles:
martes, 2 de junio de 2015
Consideremos un número indefinido de tarjetas de colores ...
ENUNCIADO
Consideremos un número indefinido de tarjetas, de cada uno de los siguientes colores: blanco, rojo, verde, amarillo, y negro. ¿ Cuántos grupos de cuatro tarjetas podemos formar, en el supuesto que se puedan repetir los colores ?
SOLUCIÓN
Este problema es equivalente a repartir cuatro bolas idénticas en un conjunto de cinco compartimentos. Cada compartimento representa color; y cada "bola" representa una marca de selección de color. Así, por ejemplo, las siguientes son algunas de las ordenaciones posibles:
-----------
[B|R|V|A|N]
-----------
[xx|xx| | | ] -> BBRR
[xxxx|| | | ] -> BBBB
[x|x| | |x|x] -> BRAN
etcétera
Por lo tanto podemos ver este problema como un problema de combinaciones con repetición ( de $m$ bolas idénticas en $n$ urnas/compartimentos ), que, como sabemos puede verse a su vez como un problema de permutaciones con repetición de $m+(n-1)$ símbolos entre los cuales $m$ ( las bolas ) son de un tipo y $n-1$ de otro ( barras separadoras de los compartimentos ), y, por tanto, es igual a $\dfrac{m+(n-1)}{m!\,(n-1)!}$. También podemos expresar esta solución de la forma $\binom{m+(n-1)}{m}$ y, también, de la forma $\binom{m+(n-1)}{n-1}$ ( por la propiedad simétrica de los números combinatorios ). Así, como en este problema, $m=4$ y $n=5$, obtenemos un total de $\dfrac{4+(5-1)}{4!\,(5-1)!}=70$ maneras de disponer las tarjetas ( de cinco posibles colores ) en grupos de cuatro tarjetas. $\square$
Consideremos un número indefinido de tarjetas, de cada uno de los siguientes colores: blanco, rojo, verde, amarillo, y negro. ¿ Cuántos grupos de cuatro tarjetas podemos formar, en el supuesto que se puedan repetir los colores ?
SOLUCIÓN
Este problema es equivalente a repartir cuatro bolas idénticas en un conjunto de cinco compartimentos. Cada compartimento representa color; y cada "bola" representa una marca de selección de color. Así, por ejemplo, las siguientes son algunas de las ordenaciones posibles:
-----------
[B|R|V|A|N]
-----------
[xx|xx| | | ] -> BBRR
[xxxx|| | | ] -> BBBB
[x|x| | |x|x] -> BRAN
etcétera
Por lo tanto podemos ver este problema como un problema de combinaciones con repetición ( de $m$ bolas idénticas en $n$ urnas/compartimentos ), que, como sabemos puede verse a su vez como un problema de permutaciones con repetición de $m+(n-1)$ símbolos entre los cuales $m$ ( las bolas ) son de un tipo y $n-1$ de otro ( barras separadoras de los compartimentos ), y, por tanto, es igual a $\dfrac{m+(n-1)}{m!\,(n-1)!}$. También podemos expresar esta solución de la forma $\binom{m+(n-1)}{m}$ y, también, de la forma $\binom{m+(n-1)}{n-1}$ ( por la propiedad simétrica de los números combinatorios ). Así, como en este problema, $m=4$ y $n=5$, obtenemos un total de $\dfrac{4+(5-1)}{4!\,(5-1)!}=70$ maneras de disponer las tarjetas ( de cinco posibles colores ) en grupos de cuatro tarjetas. $\square$
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