Un problema con una tarta ... ( Artículo escrito en catalán )

Fa bastants anys, un bon alumne de 1r d'ESO, que, en acabar la classe, sempre es quedava un parell de minuts per comentar-me coses força interessants, va proposar-me una qüestió que se li va acudir pensant en la circumferència "Es pot tallar un quart de pastís i, després, anar tallant successivament trossos de tal manera que cada nou tros siguin la meitat de l'anterior fins arribar a coincidir exactament amb el primer tall i per tant acabar, exactament, el pastís ?". Això no m'ho havia plantejat mai cap alumne, i menys encara cap alumne de primer d'ESO !. Primer em vaig quedar molt sorprès que una qüestió tan interessant se li hagués acudit a ell tot sol. De seguida, vaig reconèixer en el problema la necessitar de sumar els infinits termes d'una sèrie geomètrica de raó igual a 1/2 i de primer terme igual a 1/4, tot i que a un alumne de primer encara no li puc parlar del problema amb aquest llenguatge. Vaig fer el càlcul mentalment i li vaig contestar que no seria possible tallar tot el pastís: només aconseguiria tallar-ne la meitat. Vaig mirar, amb dibuixos, de poder per fer-li entendre. I sembla que, més o menys, ho vaig aconseguir. Després, a casa, pensant-hi una mica més, i de cara a fer servir el problema del meu alumne de primer d'ESO per a una possible classe de 1r de batxillerat, l'he replantejat de la manera següent: “(...) amb quina part dels pastís caldria començar (1/k, k>1) per aconseguir l'objectiu que la reunió dels infinits trossos completin exactament el pastís". Gràcies per expressar-me la teva curiositat, L. És el millor regal per a un professor.

[nota del autor]