4. Calculeu $\sqrt{1+i}$
Sabem, d'antuvi, que trobarem dos nombres (complexos) del tipus $x+y\,i$
per tant, escriurem que
$\sqrt{1+i}=x+y\,i$
Fent la potència al quadrat d'ambdós membres
$1+i=x^2-y^2 + 2xy\,i$
Llavors, per tal que es compleixi la igualtat caldrà igualar les parts reals dels dos membres, i, naturalment, també les parts imaginàries; obtindrem, per tant, un sistema de dues equacions de variable real
$1=x^2 - y^2 \quad \quad \text{(1)}$
$1=2xy \quad \quad \quad \; \; \text{(2)}$
Aïllant la variable $y$ de (2) i substituint l'expressió resultant en (1) trobem
$4x^4-4x^2-1=0$
equació biquadrada que resoldrem fent el canvi de variable $x^2=t$, transformant-la en una equació de 2n grau
$4t^2-4t-1=0$
que té les següents solucions
$t=\dfrac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$
Desfent, ara, el canvi de variable $x=\sqrt{t}$ arribem a les següents solucions reals (les solucions complexes no les tenim en compte, atès que $x$ representa els valors de la part real de $\sqrt{1+i}$
$x_1=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}}$
i
$x_2=-\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}$
Per cada valor de $x$ obtenim un valor de $y$, atesa la segona equació del sistema plantejat
$y=\dfrac{1}{2x}$
d'on traiem que
$y_1=\dfrac{1}{2} \, \sqrt{ \dfrac{2}{1+\sqrt{2}}} $
i
$y_2=-\dfrac{1}{2}\,\sqrt{ \dfrac{2}{1+\sqrt{2}}} $
i, per tant, les solucions de $\sqrt{1+i}$ són els nombres complexos
$z_1=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}}+\dfrac{1}{2}\, \sqrt{ \dfrac{2}{1+\sqrt{2}}} \,i$
i
$z_2=-\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}}-\dfrac{1}{2}\, \sqrt{ \dfrac{2}{1+\sqrt{2}}} \,i$
$\square$
5. Considereu el nombre complex $z=-1-2\,i$. Calculeu el valor del seu mòdul $r_z$ i el valor del seu angle polar $\theta_z$
$r_z=\left|\sqrt{z \cdot \overline{z}}\right|$
Com que $\overline{z}=-1+2\,i$
$z \cdot \overline{z} = \ldots = 5$
per tant
$r_{z} = \left| \sqrt{5}\right|$
Calculem, per acabar, el valor de l'angle polar (o fase del nombre complex):
l'afix de $z$ és (-1,-2) i, doncs, es situa en el tercer quadrant; per tant
$180º < \theta_z < 270º$
Com que, en fer ús de la funció recíproca de la tangent
$\theta_z=\arctan{\dfrac{Im(z)}{Re(z)}}$
i, per a tot angle $\alpha$ del primer quadrant sabem (de la trigonometria elemental) que
$\tan{\alpha} = \tan{\alpha}+180º$
trobem que, com que la calculadora ens dóna l'angle del primer quadrant ( $63º \, 26'$ aproximant)
concloem que
$\theta_{z}=63º \, 26'+180º$
que és igual a
$243º \, 26'$
$\square$
6. Calculeu el nombre complex que resulta de desenvolupar la potència $(5-2\,i)^3$
Per la fòrmula del binomi de Newton $(a+b)^n$ ( on $ \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ ) és igual a
$\binom{n}{0}a^{n-0}\,b^{0}+\binom{n}{1}a^{n-1}\,b^{1}+\binom{n}{2}a^{n-2}\,b^{2}+\ldots+\binom{n}{n-1}a^{n-(n-1)}\,b^{n-1}+\binom{n}{n}a^{0}\,b^{n}$
on els coficients de cada terme són els nombres combinatoris
$\binom{n}{m} = \dfrac{n!}{(n-m)!\,m!}$ on $m$, que també és un nombre natural (o bé el nombre zero) és tal que
$m \le n$
aquests nombres combinatoris
$\{1,3,3,1\}$
es poden escriure, sense calcular, llegint - d'esquerra a dreta - els nombres de la fila corresponent del triangle de Pascal - la quarta fila, ja que $n=3$ - i escriure'ls al desevolupament de forma ordenada (d'esquerra a dreta):
En el desenvolupament apareixen, doncs, quatre termes que, tenint en compte que $a=5$ i $b=-2$, podrem escriure
$(5-2\,i)^3= 1 \cdot 5^{3} \cdot (-2)^{0}+ 3 \cdot 5^{2} \cdot (-2)^{1} + 3 \cdot 5^{1} \cdot (-2)^{2} + 1 \cdot 5^{0} \cdot (-2)^{3}$
i, operant i simplificant, queda igual a
$65-142\,i$
$\square$
7. Donats els nombres complexos $z_1=4+3\,i$ i $z_2=1-2\,i$, calculeu:
a) $z_1 \cdot z_2$
b) $\dfrac{z_1}{z_2}$
apartat a:
$z_1 \cdot z_2 = (4+3\,i)\cdot (1-2\,i)$
que és igual a
$4 + 3\,i - 8\,i -6\,i^2$
i, simplificat, queda
$10-5\,i$
$\square$
apartat b:
$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{4+3\,i}{1-2\,i}$
multiplicant i dividint pel conjugat de $1-2\,i$ queda
$\dfrac{4+3\,i}{1-2\,i} \cdot \dfrac{1+2\,i}{1+2\,i} $
multiplicant numerador per numerador i denominador per denominador obtenim
$\dfrac{4+3\,i+8\,i+6\,i^2}{1-4\,i^2}$
i, simplificant trobem
$\dfrac{z_1}{z_2} = \ldots = -\dfrac{2}{5}+\dfrac{11}{5}\,i$
$\square$
8. Trobeu els valors reals de $x$ que satisfan la igualtat $\ln{(x^2-1)}+\ln{(x^2+1)}=\ln{(15)}$
Com que la suma de logaritmes és igual al logaritme del producte dels arguments, podem escriure (primer membre)
$\ln{(x^2-1)\,(x^2+1)}=\ln{(15)}$
I, com que les bases logarítmiques són iguals en tots dos membres
$(x^2-1)\,(x^2+1)=15$
simplifiant
$x^4-16=0$
i, per tant, trobem dos nombres reals com a solució d'aquesta equació, que també satisfan l'equació original
$x=\pm 2$
$\square$
