Enunciat:
Classifiqueu la següent corba cònica, determineu els seus elements, i feu-ne una representació gràfica: $2x^2+y^2-4x+2y+1=0$
Resolució:
Si escrivim l'equació general d'una cònica
$c_{xx}\,x^2+c_{xy}\,xy+c_{yy}\,y^2+c_{x}\,x+c_{y}\,y+c_{0}=0$
i comparem amb l'equació de la cònica de l'enunciat trobem que
$c_{xx}=2$, $c_{xy}=0$, i $c_{yy}=1$
per tant, el valor del discriminant
$\Delta=c_{xy}^2-4\,c_{xx}\,c_{yy}$
que ens ha de servir per classificar-la, és igual a
$0^2-4\cdot 2 \cdot 1 < 0$
la qual cosa ens diu que la cònica de l'enunciat és una el·lipse.
I, donat que $c_{xy}=0$, podem afirmar que els eixos d'aquesta el·lipse són paral·lels als eixos de coordenades cartesianes.
Mirem d'assemblar l'equació donada (escrita en forma general) a l'equació de la forma
$\dfrac{x-x_0}{\square^2}+\dfrac{y-y_0}{\square^2}=1 \quad \quad (1)$
per tal de poder determinar les coordenades del centre de l'el·lipse $(x_0,y_0$
i el valor dels semieixos $a$ i $b$, que corresponen a les quantitats que figuraran als denominadors; sent el semieix major $a$ la més gran de les dues, i el semieix menor $b$, la més petita.
Tenint en compte que
$y^2+2y+1=(y+1)^2$
podem escriure l'equació de la cònica de la forma
$2x^2-4x+(y+1)^2=0$
Dividint per $2$ ambdós membres de la igualtat ens queda
$x^2-2x+\dfrac{(y+1)^2}{2}=0$
i, tenint en compte la identitat del quadrat del binomi, podem expressar
$x^2-2x$ de la forma $(x-1)^2-1$
per tant, la podrem escriure de la forma
$\dfrac{(x-1)^2}{1^2}+\dfrac{(y-(-1))^2}{\big(|\sqrt{2}|\big)^2}=1 \quad \quad (2)$
amb la qual cosa, és obvi - per comparació amb l'equació tipus (1) - quins són el semieixos major i menor i el valor que prenen
semieix major: $a=|\sqrt{2}|$
semieix menor $b=1$
i, també, quin és el centre $C$ de l'el·lipse, el punt de coordenades $(1,-1)$
Atenent la relació que lliga $a$, $b$ i $c$ (la meitat de la distància focal)
$a^2=b^2+c^2$, podem també calcular - a partir dels valors que ja coneixem de $a$ i de $b$ - el valor de $c$
$c=\left|\sqrt{\big(|\sqrt{2}|\big)^2-1^2}\right|=1$
I, d'aquí, trobem el valor de l'excentricitat, que es defineix com la raó aritmètica
$e=\dfrac{c}{a}$
substituint els valors calculats
$e=\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}$
que - com era d'esperar (estem estudiant una el·lipse) - pren un valor més petit que u.
Com que els eixos de simetria d'aquesta el·lipse són paral·lels a als eixos de coordenades, i passen pel centre de l'el·lipse $C(1,-1)$, podem escriure també les seves equacions de forma immediata:
$e_1:\,x=1$
$e_2:\,x=-1$
Calcularem, ara, les coordenades dels focus i dels vèrtexs; per això, cal partir de les coordenades dels focus i vèrtexs de l'el·lipse centrada a l'origen de coordenades, la qual té per equació l'e. reduïda
$\dfrac{x^2}{1^2}+\dfrac{y^2}{\big(|\sqrt{2}|\big)^2}=1$
per, després, fer la translació d'aquesta - segons el vector de translació $\vec{t}=(x_0,y_0)$ [ recordem que $x_0=1$ i que $y_0=-1$ ], obtenint les coordenades que cerquem (focus i vèrtexs de l'el·lipse amb el centre que toca).
vèrtexs de l'el·lipse (A, A'; B, i B') [recordem que $a=|\sqrt{2}|$ (semiexi major) i que $b=1$ (semieix menor, ja que $|\sqrt{2}| >1$; i tinguem en compte també, que, com que el valor del semieix major es troba al denominador del terme en $y$ (equació (2)), en aquest problema els vèrtexs A i A' es situen damunt de l'eix Oy, i els vèrtexs B i Bi, damunt de l'eix Oy ]:
$A(x_0,a+y_0)$ és a dir $A(1,|\sqrt{2}|-1)$
$A'(x_0,-a+y_0)$ és a dir $A'(1,-|\sqrt{2}|-1)$
$B(b+x_0,y_0)$ és a dir $B(2,-1)$
$B'(-b+x_0,y_0)$ és a dir $B(0,-1)$
focus de l'el·lipse [recordem que $c=1$] F i F' (es troben - en aquest problema - damunt de l'eix Oy, per la raó explicada al paràgraf anterior):
$F(x_0,c+y_0)$ és a dir $F(1,0)$
$F'(x_0,-c+y_0)$ és a dir $F(1,-2)$
$\square$
