Coordenadas geográficas ... ( Artículo escrito en catalán )

Per fer un recull de les coordenades geogràfiques (latitud i longitud) de diversos llocs podríem fer-ho de les següents maneres:

Opció 1. Al web de l'Institut Cartogràfic de Catalunya hi podeu consultar les coordenades geogràfiques de diverses localitats [http://www.icc.es], i també hi trobareu una aplicació en línia que permet convertir les coordenades UTM a coordenades geogràfiques (latitud i longitud), i a l'inrevés. Naturalment, això també ho podeu fer consultant en totes les pàgines web dels instituts cartogràfics d'arreu.

Opció 2. És possible fer servir el Google Earth o Google Maps per llegir les coordenades geogràfiques de qualsevol punt del mapa on tinguem el cursor a la part inferior de la finestra (latitud, longitud, i altura sobre el nivell del mar). Als alumnes no els ha de costar gens ni mica engegar el Google Earth, volar on són, llegir-les i apuntar-les.

Opció 3.  Per saber les coordenades d'un punt del mapa només cal el mapa de la zona; una mica de paciència, ganes i curiositat, un compàs, un regle i una calculadora científica bàsica (la calculadora ni cal); els alumnes són perfectament capaços de fer-ho: una activitat, per cert, fascinant per aprendre a fer servir els mapes. No tot ha de passar pels ordinadors, el Google i les bases de dades. Sovint el més eficaç és també el més senzill. Certament no quedarà ni tic ni tac, però s'aprèn, de debò, vull dir.

Opció 4.  Mitjançant un receptor GPS (el del cotxe familiar ja farà el fet) es mira i s'apunten en un paperet les coordenades del punt on ens trobmem. Fent això per tots els llocs d'interès quan ens hi traslladem es pot anar bastint la petita base de dades que vulguem fer.

Opció 5. Per a estudiants de batxillerat de ciències amb ganes d'aprendre, curiositat matemàtica, i amb una bona dosi de romanticisme - aquesta mena d'individus ho aguanten tot i, naturalment, aprenen a situar-se en tot moment -, els aconsello adquirir, a més a més, un sextant de plàstic [són molt més barats i, per començar amb l'afició de la navegació astronòmica, són molt apropiats], o fins i tot, fer-se'n un amb materials reciclats (un bon projecte de taller i laboratori); l'almanac nàutic de l'any (editat pel Real Instituto y Observatorio de la Armada), un rellotge ajustat a l'hora TU (també anomenada UT, UTC, o GMT). I, el més important: mirar el cel, mirar els astres que, per altra banda, i de tant en tant, va força bé bé per apartar la vista de la pantalla de l'ordinador i tornar a contemplar l'esfera celeste, com feien els antics, abans que (no fa pas gaires anys) hi hagués també al cel la flota de satèl·lits de posicionament global (GPS). Ben proveïts d'aquests estris, d'una mica de trigonometria esfèrica i uns coneixements elementals d'astronomia, tan sols caldrà "fer baixar" (amb l'humil i meravellós sextant) fins a l'horitzó un parell d'astres (estrelles, la Lluna, o bé el Sol, depenent del moment de l'observació, de dia o bé de nit), mesurant les seves altures sobre l'horitzó i els moments corresponents (hora TU), traçar les corresponents rectes d'altura sobre el paper i calcular les coordenades del lloc des d'on hem fet l'observació. Us puc assegurar que és una experiència fascinant.

[nota del autor]

Ejercicio de clasificación de cónicas. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Classifiqueu les següents corbes còniques (seccions còniques) a partir de l'equació quadràtica general

                        $\mathcal{C}:\,a\,x^2+b\,xy+c\,y^2+d\,x+e\,y+f=0$

a)   $y^2+3x+5y-8=0$
b)   $2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0$
c)   $y^2 + x - y -4 =0$
d)   $x^2+xy+y^2-1=0$
e)   $x^2-y^2+2xy+3=0$
f)   $x^2+y^2+4y-x+1=0$

Solució:
Recordem el criteri de classificació (estudiat i justificat a classe)
    A partir del valor
        $\delta = b^2-4\,ac$
    tenim les següents possibilitats:
        Si $\delta$ < $0 \, \rightarrow$ el·lipse
        Si $\delta \succ 0$ $\, \rightarrow$ hipèrbola
        Si $\delta$ = 0 $\, \rightarrow$ paràbola

[No hem posat aquí els casos particulars de degeneració, que porten a rectes paral·leles, secants, coincidents, o fins i tot a rectes imaginàries, punts, etcètera]

Recordem, per altra banda, que si $b \ne 0$, els eixos de la cònica (o la recta de simetria, si es tracta d'una paràbola) no són paral·lels als eixos cartesians.

Llavors,
a)   $y^2+3x+5y-8=0$
      $b=0$, $a=0$, $c=1$, d'on $\delta=0 \, \rightarrow$ paràbola ( amb la recta de simetria paral·la a l'eix - d'abcsisses, en aquest cas - atès que $b = 0$ )

b)   $2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0$
      $b=0$, $a=2$, $c=4$, d'on $\delta=-32 \, \rightarrow$ el·lipse (amb els eixos paral·lels als eixos de coordenades atès que $b = 0$ )

c)   $y^2 + x - y -4 =0$
      $b=0$, $a=0$, $c=1$, d'on $\delta=0 \, \rightarrow$ paràbola
(amb la recta de simetria paral·lela a un dels dos eixos de coordenades atès que $b = 0$ )

d)   $x^2+xy+y^2-1=0$
      $b=1$, $a=1$, $c=1$, d'on $\delta=-4 \, \rightarrow$ el·lipse (amb els eixos no paral·lels als eixos de coordenades atès que $b \ne 0$ )

e)   $x^2-y^2+2xy+3=0$
      $b=0$, $a=1$, $c=-1$, d'on $\delta=4 \, \rightarrow$ hipèrbola (amb els eixos no paral·lels als eixos de coordenades atès que $b \ne 0$ )

f)   $x^2+y^2+4y-x+1=0$
      $b=0$, $a=c=1$, d'on $\delta=4 \, \rightarrow$ el·lipse, i donat que $a=c$ és, com a cas particular, una circumferència (excentricitat nul·la).
$\blacksquare$

[nota del autor]