Distancia de un punto a una recta

ENUNCIADO. Sea un punto $P(x_P,y_P)$ y una recta $r\equiv Ax+By+C=0$. Demúestrese que la distancia euclídea de $P$ a $r$ es $$\text{dist}(P,r)=\dfrac{|Ax_P+By_P+C}{|\sqrt{A^2+B^2}|}$$

SOLUCIÓN. Consideremos un punto genérico de $r$, $X(x,y)$, y el vector $\overset{\rightarrow}{XP}=(x_P-x,y_P-y)$. Entonces, $$\text{dist}(P,r)=\left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proy}}_{\vec{n}_1}\,\overset{\rightarrow}{XP} \right\| = |\langle \overset{\rightarrow}{XP}, \vec{n}_1 \rangle| \quad \quad (1)$$ donde $\vec{n}_1$ es un vector unitario perpendicular a $r$.

Siendo $\vec{u}_r=(B,-A)$ un vector director de $r$, sabemos que un vector perpendicular a la misma es $\vec{n}=(A,B)$ y el vector unitario en su misma dirección y sentido es $$\vec{n}_1=\left( \dfrac{A}{|\sqrt{A^2+B^2}|},\dfrac{B}{|\sqrt{A^2+B^2}|}\right)$$ y del producto escalar $$\langle (x_P-y_P,y_P-y),\left( \dfrac{A}{|\sqrt{A^2+B^2}|},\dfrac{B}{|\sqrt{A^2+B^2}|}\right)\rangle$$ obtenemos $$\dfrac{Ax_P+By_P-Ax-Ay|}{|\sqrt{A^2+B^2}}$$ y teniendo en cuenta la ecuación general de la recta $Ax+By+C=0$, $-Ax-By=C$, por consiguiente y según (1), $$\text{dist}(P,r)=\dfrac{|Ax_P+By_P+C|}{|\sqrt{A^2+B^2}|}$$

EJEMPLO. Se considera la recta $r\equiv x-y+1=0$ y el punto $P(1,1)$. Calcúlese la distancia euclídea de $P$ a $r$.
SOLUCIÓN. Aplicando la fórmula que acabamos de justifcar y teniendo en cuenta que $A=C=1$ y $B=-1$ y $x_P=y_P=1$, tenemos que $\text{dist}(P,r)=\dfrac{1\cdot 1+(-1)\cdot 1+1}{|\sqrt{1^2+(-1)^2}|}=\dfrac{1}{|\sqrt{2}|}$ unidades de longitud arbitrarias.
$\square$

Calcular la distancia entre las rectas ...

Calculeu la distància entre les rectes:
$r:\,\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-1}{2}$
i
$s:\,3x+5y-1=0$

El vector $\vec{u_r}=(3,2)$ és un vector director de la recta $r$, i un vector director de la recta $s$ és, per exemple, el vector $\vec{u_s}=(-5,3)$, atès que $\vec{n_s}=(3,5)$ n'és un vector normal (perpendicular a la recta). Com que $\vec{u_r}$ i $\vec{u_s}$ no tenen la mateixa direcció, les rectes $r$ i $s$, tampoc; és a dir, no són paral·leles, i, per tant,
$d(r,s)=0$
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[nota del autor]

Calcular la distancia entre el punto y la recta ... ( Artículo escrito en catalán )

Calculeu la distància entre el punt P(4,-1) i la recta
$r:\,\dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y+1}{-2}$

Resolució:
Per calcular la distància del punt P a la recta r podem fer ús de la fórmula que ja hem justificat

$d(P,r)=\left|\dfrac{a\,x_P+b\,y_P+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$

és a dir

$d(P,r)=\dfrac{2}{\left|\sqrt{5}\right|}$

on $a$, $b$ i $c$ són els coeficients de la recta expressada en forma general

De l'equació en forma contínua donada a l'enunciat, passem a l'equació de la recta $r$ en forma general

$x+2y=0$

per tant $a=1$, $b=2$ i $c=0$

i com que $x_P=4$ i $y_P=-1$ tenim que

$d(P,r)=\left|\dfrac{1 \cdot 4 +2 \cdot (-1)+0}{\sqrt{1^2+2^2}}\right|$

és a dir

$d(P,r)=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

$\square$

[nota del autor]