Derivada de la funció ge composada amb efa
Ens proposem obtenir la regla de derivació de la funció $h:\,\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ (funció definida sobre $\mathbb{R}$ i que prenen valors en $\mathbb{R}$ )
definida de la forma
$h=f \circ g$
funció que actua de la forma
$h(x)=f\big(g(x)\big)$
[ on $f$ i $g$ també són funcions definides sobre $\mathbb{R}$ i que prenen valors en $\mathbb{R}$ ]
Observem que
$\displaystyle \frac{\Delta h}{\Delta x} = \frac{\Delta f}{\Delta g} \cdot \frac{\Delta g}{\Delta x}$
Quan passem al límit tindrem que
$\displaystyle \Delta x \rightarrow 0 \Rightarrow \Delta g(x) \rightarrow 0$
per tant, per la definició de derivada i per les propietats elementals dels límits de funcions podrem escriure
$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta g \rightarrow 0}\frac{\Delta f} {\Delta g}\, .\, \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta g}{\Delta x}$
És a dir, fent servir una notació més abreviada:
$\displaystyle f'_{x}=f'_{g}\,.\,g'_{x}$
En composar més funcions el resultat es generalitza fàcilment; per exemple, si $\displaystyle f(x)=(g \circ h\circ ...\circ p )(x)$, la derivada es calcularà de forma {\sl encadenada}. D'aquí ve el nom de regla {\sl de la cadena}:
$\displaystyle f'_{x}=f'_{g}\,.\,g'_{h} ... p'_{x}$
$\square$
