Un ejercicio de cálculo básico en el conjunto de los números complejos

Consideremos la siguiente operación: $$\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-9}$$ ¿qué número resulta?

De entrada, ya nos damos cuenta de que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida en el conjunto de los números reales. Veamos, no obstante, como desarrollar el cálculo aplicando las propiedades algebraicas conocidas, teniendo en cuenta (como ya sabemos) que $\sqrt{-1}$ es la unidad imaginaria $i$, esto es, el número complejo $0+1\cdot i$:
  $\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-9}$
    $=\sqrt{-1\cdot 4}\cdot \sqrt{-1\cdot 9}=$
      $=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}\cdot \sqrt{9}$
        $=i\cdot \sqrt{4}\cdot i\cdot \sqrt{9}$
          $=i\cdot \sqrt{4}\cdot i\cdot \sqrt{9}$
            $=i\cdot 2\cdot i\cdot 3$
              $=i\cdot i\cdot 2\cdot 3$
              $=i^2\cdot 2\cdot 3$
                $=i^2\cdot 6$
                  $=(-1)\cdot 6$
                    $=-6$
Obsrvación: El que dé un número real esta operación cuyos operandos no son números reales no debe sorprendernos, ya que el conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos; es decir, un número real forma parte también de los números complejos. En particular, podríamos decir que $-6$ es un número complejo cuya parta imaginaria es cero: $-6=-6+0\cdot i$ $\diamond$

Un breve repaso a las funciones piso y techo

Las funciones discretas piso y techo envía número real $x$ a un número entero. Recordemos cómo se define la función piso, que se nota de la forma $\left \lfloor \,x\,\right \rfloor$: si $\mathbb{Z} \ni k=\left \lfloor x \right \rfloor$, entonces $k \le x \lt k+1$; por ejemplo, $\left \lfloor -2,1 \right \rfloor = -3 \because -3 \lt -2,1 \lt -2$. Por otra parte, la función, que notamos de la forma $\left \lceil x \right \rceil$, se define de la siguiente manera: si $\mathbb{Z} \ni k=\left \lfloor x \right \rfloor$, entonces $k-1 \lt \left \lceil x \right \rceil \le k$; por ejemplo; $\left \lceil -1,7 \right \rceil = -1 \because -2 \lt -1,7 \lt -1$

oOo

Dicho ésto, sea un número real mayor o igual que $0$ y menor o igual que $2$,
¿cuál es el valor de $\left \lfloor \dfrac{ \left \lceil x \right \rceil}{3}\right \rfloor$ ?

Observemos que si $0 \le x \le 2$, entonces $0 \le \dfrac{ \left \lceil x \right \rceil}{3} \lt 1$, luego $\left \lfloor \dfrac{ \left \lceil x \right \rceil}{3}\right \rfloor=0$
$\diamond$

Otro ejemplo de clasificación y caracterización de curvas cónicas

Queremos estudiar la siguiente cónica: $\mathcal{C}: y^2+3x+5y-8=0$$

Recordemos que, dada una curva cónica de ecuación (general) $$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$ y siendo $\Delta:=b^2-4ac$ se tiene que ésta corresponde a una elipse si $\Delta \lt 0$; a una hipérbola si $\Delta \gt 0$ y a una parábola si $\Delta=0$

En nuestro caso: $a=b=0$, $c=1$ y $f=-8$, luego $\Delta = 0^2-4\cdot 0 \cdot 1 = 0$, por lo que la ecuación propuesta corresponde a una parábola.

Escribámosla ahora en forma reducida, esto es, de la forma $(y-y_V)^2=4c\,(x-x_V) \quad (1)$, donde $V(x_V,y_V)$ es el vértice de la parábola; $F(x_V+c,y_V)$ es el foco y $\text{r.d.}:$
  $y^2+3x+5y-8=0$
    $(y^2+5y)+3x-8=0$
      $(y+\frac{5}{2})^2-(\frac{5}{2})^2+3x-8=0$
        $(y+\frac{5}{2})^2+3x-\frac{57}{4}=0$
          $(y+\frac{5}{2})^2=-3x+\frac{57}{4}$
            $(y-(-\frac{5}{2}))^2=-3\,(x-\frac{1}{3}\cdot\frac{57}{4})$
              $(y-(-\frac{5}{2}))^2=-3\,(x-\frac{19}{4}) \quad (1')$
Comparando (1) con (1'), deducimos que $y_V=-\frac{5}{2}$ y $x_V=\frac{19}{4}$, luego el vértice de la parábola es el punto $V(\frac{19}{4}\,,\,-\frac{5}{2})$

Por otra parte, sabemos que en una parábola cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas, $y^2=4c\,x \quad (2)$, $c=\text{dist}(O,F)$, luego $x_F=c$ y $\text{r.d.}:x=-c$ es la ecuación de su recta directriz.

En nuestro caso (la parábola está desplazada a lo largo del eje de abscisas con respecto a (2)), el vértice se ve afectado, por supuesto, del mismo desplazamiento, por lo que $x_F=x_V+c=\frac{10}{4}+c$ y $\text{r.d.}:x=-c+x_V$. De la comparación de (1') y (2) vemos también que $4c=-3$ y por tanto, $c=-\frac{3}{4}$, con lo cual, $x_F=\frac{19}{4}+(-\frac{3}{4})=4$, y como $y_F=-\frac{5}{2}$, el foco es el punto $F(4\,,\,-\frac{5}{2})$. Y, en cuanto a la recta directriz, tiene por ecuación: $\text{r.d.}:x=-(-\frac{3}{4})+\frac{19}{4}$, es decir, $\text{r.d.}:x=\frac{11}{2}$

Por lo que se refiere a la excentricidad -parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia- de una parábola, recordemos que es igual a $1$. Nota: Recordemos también que, para una hipérbola, la excentricidad es mayor que $1$; para una elipse es menor que $1$, y, en el caso particular de que dicha elipse sea una circunferencia, en cuyo caso los semiejes de la elipse tienen el mismo valor, ésta es igual a $0$. $\diamond$

Un ejemplo de clasificación y caracterización de cónicas

Queremos estudiar la siguiente cónica: $\mathcal{C}: 2x^2+4y^2+5x-4y-1=0$$

Hemos visto que, dada una curva cónica de ecuación (general) $$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$ y siendo $\Delta:=b^2-4ac$ se tiene que ésta corresponde a una elipse si $\Delta \lt 0$; a una hipérbola si $\Delta \gt 0$ y a una parábola si $\Delta=0$

En el caso que nos ocupa, $a=2$, $b=0$ y $c=4$, por lo que $\Delta = 0^2 - 4\cdot 2 \cdot 4 = -32 \lt 0$, luego la ecuación general dada corresponde a una elipse.

Para encontrar sus elementos característicos, transformaremos la ecuación general en la ecuación reducida $$\mathcal{C}: \dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1 \quad (1)$$ donde $C(x_C,y_C)$ es el centro de la elipse; y, $a$ y $b$ son sus semiejes.

Empecemos las transformaciones,
$2x^2+4y^2+5x-4y-1=0$
  $(2x^2+5x)+(4y^2-4y)-1=0$
    $(x^2+\frac{5}{2}x)+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=\frac{0}{2}$
      $(x^2+\frac{5}{2}x)+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=0$
        $(x+\frac{5}{4})^2-(\frac{5}{4})^2+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=0$
          $(x+\frac{5}{4})^2-\frac{25}{16}+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=0$
            $(x+\frac{5}{4})^2+(2y^2-2y)-\frac{33}{16}=0$
              $\frac{1}{2}\cdot (x+\frac{5}{4})^2+\frac{1}{2}\cdot (2y^2-2y)-\frac{1}{2}\cdot \frac{33}{16}=0$
                $\dfrac{(x+\frac{5}{4})^2}{2}+\frac{2}{2}\cdot (y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                  $\dfrac{(x+\frac{5}{4})^2}{2}+(y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                    $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{2}+(y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                      $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                        $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2-\frac{33}{32}=0$
                          $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2-\frac{33}{32}=0$
                            $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}-\frac{33}{32}=0$
                              $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-\frac{41}{32}=0$
                                $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{1^2}-\frac{41}{32}=0$
                                  $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{1^2}=\frac{41}{32}$
                                    $\dfrac{1}{\frac{41}{32}}\cdot \dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+\dfrac{1}{\frac{41}{32}}\cdot \dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{1^2}=\dfrac{1}{\frac{41}{32}}\cdot \frac{41}{32}$
                                      $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{\frac{41}{32}\cdot (\sqrt{2})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{\frac{41}{32}\cdot 1}=1$
                                        $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{\frac{41}{16}})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{(\sqrt{\frac{41}{32}})^2}=1 \quad (1')$

Comparando (1) con (1'), es claro que: $x_C=-\frac{5}{4}$, $y_C=\frac{1}{2}$, y por tanto el centro es el punto $C(-\frac{5}{4},\frac{1}{2})$, siendo las ecuaciones de los ejes de la elipse: $\text{e}_x:x=-\frac{5}{4}$ y $\text{e}_y:y=\frac{1}{2}$ y ; $a=\sqrt{\frac{41}{16}}$, $b=\sqrt{\frac{41}{32}}$. Por otra parte, sabemos que la excentricidad de una elipse se define como $e:=\dfrac{c}{a}$, donde $c$ es la distancia del centro de la elipse a los focos, cumple la relación $c^2=a^2-b^2$ -Nota: recordemos, sin embargo, que en una hipérbola, por el mismo significado del parámetro $c$ la relación que se verifica es $c^2=a^2+b^2$-, luego $c=\sqrt{(\sqrt{\frac{41}{16}})^2-(\sqrt{\frac{41}{32}})^2}=\sqrt{\frac{41}{16}-\frac{41}{32}}=\sqrt{\frac{41}{32}}$, por consiguiente, $e=\dfrac{ \sqrt{\frac{41}{32}}} {\sqrt{\frac{41}{16}}} =\sqrt{16}{32}=\sqrt{1}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071 \lt 1$, como debe ser tratándose de una elipse.

Calculemos ahora las coordenadas de los focos, $F$ y $F'$:
Sabemos que:
  $x_F=x_C+\text{dist}(C,F)=x_C+c=-\dfrac{5}{4}+\sqrt{\frac{41}{32}}$, y $y_F=y_C=\frac{1}{2}$, luego $F(-\frac{5}{4}+\sqrt{\frac{41}{32}}\,,\,\frac{1}{2})$
  $x_F'=x_C-\text{dist}(C,F')=x_C-\text{dist}(C,F)=x_C-c=-\dfrac{5}{4}-\sqrt{\frac{41}{32}}$, y $y_F'=y_C=\frac{1}{2}$, luego $F'(-\frac{5}{4}-\sqrt{\frac{41}{32}}\,,\,\frac{1}{2})$

Y, finalmente, los cuatro vértices de esta elipse, $V_{\text{eje horizontal}}$ y $V'_\text{eje horizontal}$, y $V_\text{vertical}$ y $V'_\text{vertical}$:

    $V_{\text{eje horizontal}}=( -\dfrac{5}{4}+\sqrt{\frac{41}{16}}, \frac{1}{2})$
    $V'_\text{eje horizontal}=( -\dfrac{5}{4}-\sqrt{\frac{41}{16}}, \frac{1}{2})$
    $V_\text{vertical}=( -\dfrac{5}{4}, \dfrac{1}{2}+\sqrt{\frac{41}{32}})$
    $V'_\text{vertical}=( -\dfrac{5}{4}, \dfrac{1}{2}-\sqrt{\frac{41}{32}})$
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Un ejercicio de incidencia de dos circunferencias

Consideremos las siguientes circunferencias: $\text{Cir}_1:x^2+y^2-6x-6y-90=0 \quad (1)$ y $\text{Cir}_2:x^2+y^2-2x-6y-90=0 \quad (2)$. Nos proponemos averiguar de qué tipo son, calcular los centros y los radios respectivos, y determinar los puntos de intersección entre ellas.

Veamos la primera. Como corresponde a una circunferencia con centro en otro punto distinto del origen de coordenadas, la escribiremos como $\text{Cir}_1:(x-x_{c_{1}})^2+(y-y_{c_{1}})^2-r_{1}^2=0$, esto es, $\text{Cir}_1:x^2-2x_{c_{1}}\,x+x_{c_{1}}^2+y^2-2x_{c_{1}}\,y+y_{c_{1}}^2 \quad (1')$, y comparando (1) con (1') deducimos: $x_{c_{1}}=-\dfrac{-6}{2}=3$, $y_{c_{1}}=-\dfrac{-6}{2}=3$ y $r_1=\sqrt{x_{c_{1}}^2+y_{c_{1}}^2)-(-90)}=\sqrt{3^2+3^2+90}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\,\text{u.l.a.}$ (unidades de longitud arbitrarias)

Analicemos ahora con la segunda, haciendo lo mismo: $\text{Cir}_2:(x-x_{c_{2}})^2+(y-y_{c_{2}})^2-r_{2}^2=0$, y por tanto, $\text{Cir}_2:x^2-2x_{c_{2}}\,x+x_{c_{2}}^2+y^2-2x_{c_{2}}\,y+y_{c_{2}}^2 \quad (2')$, y comparando (2) con (2') deducimos: $x_{c_{2}}=-\dfrac{-2}{2}=1$, $y_{c_{2}}=-\dfrac{-6}{2}=3$ y $r_2=\sqrt{x_{c_{2}}^2+y_{c_{2}}^2)-(-90)}=\sqrt{1^2+3^2+90}=\sqrt{100}=10\,\text{u.l.a.}$ (unidades de longitud arbitrarias)

Finalmente, calculemos los puntos de intersección resolviendo el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-6x-6y-90=0 \quad (1)\\ x^2+y^2-2x-6y-90=0 \quad (2)\end{matrix}\right.$$ Restando la segunda de la primera: obtenemos $4x=0 \Leftrightarrow x=0$, y sustituyendo en (1):
  $0^2+y^2-6\cdot 0-6y-90=0$
    $y^2-6y-90=0$
      $y=\dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1\cdot (-90)}}{2\cdot 1}=\dfrac{6\pm 6\sqrt{11}}{2}=3\cdot (1\pm \sqrt{11})$, luego estas dos circunferencias se intersecan en dos puntos: $A(0\,,\,3\cdot (1 + \sqrt{11}))$ y $B(0\,,\,3\cdot (1 - \sqrt{11}))$
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Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $y^2=6x$. Queremos identificar el tipo de cónica, y calcular sus parámetros y elementos característicos.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una parábola con vértice en el origen de coordenadas y eje de simetría coincidente con el eje de abcsisas es $y^2=4c\,x$ -Observaciones: (1) a veces, se escribe la ecuación genérica de una parábola con vértice en el origen de la forma $y^2=2px$, donde $p=2c$; y (2), por supuesto, si el eje de simetría coincidiese con el eje de ordenadas, $x^2=2py=4cy$-. En el caso que nos ocupa es claro que el eje de simetría es el eje de abscisas, $c=\text{distancia}(O,F)$, siendo $F$ el foco de dicha parábola; así que vemos que, al ser, $6=4c$, $c=\dfrac{3}{2}$, luego las coordenadas del foco son $F(3/2,0)$. También sabemos que la recta directriz (perpendicular al eje de simetría) se encuentra al otro lado del vértice, y a la misma distancia del origen de coordenadas que la de éste al vértice, luego la ecuación de la recta directriz es $\text{rd}:x=-c=-\dfrac{3}{2}$.   $\diamond$

Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $(x-1)^2+(y+1)^2=3$. Queremos identificar el tipo de cónica, y calcular sus parámetros característicos.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una elipse con centro en otro punto $C(x_C,y_C)$ distinto del origen de coordenadas es $\dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1$, donde, en nuestro caso concreto, $a^2=b^2=3$, es claro que la ecuación propuesta corresponde a una elipse centrada (su centro es el origen de coordenadas), y por tanto $a=b=\sqrt{3}$. Y, al tener el mismo valor los semiejes $a$ y $b$, deducimos que se trata de una circunferencia; su excentricidad $e:=\dfrac{c}{a}=0$ (como ha de ser en el caso de una circunferencia) ya que, para una elipse genérica $c:=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\dfrac{0}{3}=0$. Teniendo en cuenta además que $x_C=1$ y $y+1=y-(-1)$, se tiene que $y_C=-1$, luego el centro de dicha circuferencia es el punto $C(1,-1)$. Veamos ahora el valor del radio de la misma. Como una circunferencia descentrada responde a la ecuación $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=R^2$, identificando el segundo miembro con el valor $3$, es claro que $R=\sqrt{3}$.   $\diamond$

Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$. Queremos calcular las coordenadas del centro y de los focos, y también su excentricidad.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una elipse centrada es $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, es claro que la ecuación propuesta corresponde a una elipse centrada (su centro es el origen de coordenadas), siendo $a^2=3$, y por tanto $a=\sqrt{3}$; y $b^2=2$, con lo cual $b=\sqrt{2}$. Teniendo en cuenta que $2\,c$ es la distancia entre los focos $F(c,0)$ y $F'(-c,0)$ (los cuales están sobre el eje de abscisas), se relaciona con $a$ y $b$, mediante la ecuación $a^2=c^2+b^2$ -recordemos que, por contra, en una hipérbola dicha relación es $c^2=a^2+b^2$-, vemos que $c^2=a^2-b^2=3-2=1$, luego $c=\sqrt{1}=1$; por consiguente las coordenadas de los focos son $F(1,0)$ y $F'(-1,0)$. Por otra parte, la excentricidad de una cónica se define como $e:=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,5774$, que, como debe ser tratándose en una hipérbola, es mmenor que $1$.   $\diamond$

Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $\dfrac{x^2}{25}-\dfrac{y^2}{36}=1$. Queremos calcular las coordenadas del centro y de los focos, y también su excentricidad; y, de haber rectas asíntotas para dicha cónica, queremos también encontrar sus ecuaciones, el ángulo que forman con el eje de abcisas y el ángulo que forman entre ellas.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una hipérbola centrada es $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$, es claro que la ecuación propuesta corresponde a una hipérbola centrada (su centro es el origen de coordenadas), siendo $a^2=25$, y por tanto $a=\sqrt{25}=5$; y $b^2=36$, con lo cual $b=\sqrt{36}=6$. Teniendo en cuenta que $2\,c$, es la distancia entre los focos $F(c,0)$ y $F'(-c,0)$ (que están sobre el eje de abscisas), se relaciona con $a$ y $b$, mediante la ecuación $c^2=a^2+b^2$, vemos que $c^2=25+36=61$, luego $c=\sqrt{61}$; por consiguente las coordenadas de los focos son $F(\sqrt{61},0)$ y $F'(-\sqrt{61},0)$. Por otra parte, la excentricidad de la cónica es $e:=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{61}}{5}\approx 1,5621$, que, como debe ser tratándose en una hipérbola, es mayor que $1$. Tratándose de una hipérbola, ésta tiene dos asíntotas, y al ser una h. centrada éstas pasan por el origen de coordenadas, las ecuaciones de dichas asíntotas son $a_1:y=:\tan(\theta_1)\,x=\dfrac{b}{a}\,x=\dfrac{6}{5}\,x$, y $a_2:y:=\tan{\theta_2}\,x=\dfrac{b}{-a}\,x=-\dfrac{6}{5}\,x$. El ángulo que forma $a_1$ con el eje de abscisas es $\theta_1=\text{arctan}(6/5)\approx 50^\circ\,11'$, el que forma $a_2$ con el eje de abscisas es por tanto $\theta_2=180^\circ-\theta_1\approx 129^\circ\,49'$, y el ángulo que forman las dos asíntotas entre sí es por consiguiente $180^\circ - 2\cdot 50^\circ\,11' = 79^\circ\, 38'$   $\diamond$

Un ejemplo sencillo de manejo de errores con las medidas de ángulos

Consideremos un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ donde $\angle (CBA)=90^\circ$, $a=2,1 \pm 0,05$ m i $c=3,4 \pm 0,5$ m. Nos planteamos la siguiente cuestión: con qué precisión podemos calcular el valor del ángulo $\angle (BAC)$ (que, por comodidad, denotaremos por $\alpha$) ?

El valor calculado del ángulo $\alpha$ deberá pertenecer al intervalo de incertidumbre que tiene por extremos superior $\arctan{\Big(\dfrac{2,1+0,05}{3,4-0,05}\Big)} \approx 32,69^\circ$ y por extremo inferior $\arctan{\Big(\dfrac{2,1-0,05}{3,4+0,05}\Big)} \approx 30,72^\circ$ esto es, en el intervalo centrado de radio $\dfrac{30,72º-32,69º}{2} =0,985 \lt 1^{\circ}$ y centro $\dfrac{30,72^\circ+32,69^\circ}{2}\approx 32^\circ$

Y, para terminar, a partir del valor del radio de dicho entorno, podemos encontrar la cota de error absoluto del resultado $\Delta_{\alpha} = 1^\circ$ Por lo tanto, podemos concluir que el valor del ángulo calculado tendrá el siguiente margen de error, $\alpha = 32^\circ \pm 1^\circ$ $\diamond$

Propagación a través de los cálculos de los errores en los datos. Un ejemplo sencillo

Se han medido las longitudes de una parecela retangular: $a=21,64\,\text{m}$ y $b=17,3\,\text{m}$. Vamos a calcular el intervalo de incertidumbre del área de dicho rectángulo, reflexionando acerca de las cifras que son significativas en el valor del área que presentaremos a partir del sencillo cálculo de la misma.

Tengamos en cuenta, para empezar, el número de cifras significativas de las medidas, es decir, la precisión con la que se han realizado. La medida del lado $a$ viene dada con $4$ cifras significativas, siendo la última (así como la penúltima) de la parte decimal (la de las centésimas de metro), con lo que, razonablemente, atendiendo a esta última, podemos atribuirle un margen de error (cota de error absoluto) de media unidad del orden de magnitud correspondiente a la última cifra significativa: $0,005\,\text{m}$. Y, por otra parte, en la medida del lado $b$ hay $3$ cifras significativas, la última de las cuales es de la parte decimal (la de las décimas de metro), con lo cual su margen de error, siguiendo el criterio explicado, es de $0,05 \,\text{m}$. Resumiendo, tomamos como cotas de error absoluto de esas medidas las siguientes: $\Delta_a=0,005\, \text{m}$ y $\Delta_b=0,05\, \text{m}$

Calculemos ahora el valor del área (producto de los dos lados), adecuando (aproximando por redondeo) el resultado de la operación de manera que el número de cifras significativas sea el del menor número de cifras significativas de los dos factores, que es $3$, pues, habiendo en la operación productos (o, también, cocientes si los hubiese) como operaciones aritméticas básicas, tal es el criterio razonable cuando operamos con datos que de por sí ya vienen afectados de cierta imprecisión. Así, tenemos que $$A=a\cdot b=\overset{\text{4 c.s.}}{21,64}\cdot \overset{\text{3 c.s.}}{17,3}\overset{\text{3 c.s.}}{\approx} 374\,\text{m}^2$$

A continuación, atendiendo al margen de error de los datos, vamos a calcular los extremos superior e inferior del área, $A_s$ y $A_i$, aproximando los resultados al mismo número de cifras significativas que el resultado anterior del área ($3$ c.s.), por truncamiento con $3$ cifras significativas, por exceso y por defecto, respectivamente. En buena lógica, $$A_s=(a+\Delta_a)\cdot (b+\Delta_b)=(21,64+0,005)\cdot (17,3+0,05)\overset{\text{t. por exceso}}{\approx} 376\,\text{m}^2$$ y $$A_i=(a-\Delta_a)\cdot (b-\Delta_b)=(21,64-0,005)\cdot (17,3-0,05)\overset{\text{t. por defecto}}{\approx} 373\,\text{m}^2$$

Podemos pues afirmar que el valor verdadero del área de dicho rectángulo (expresada en metros cuadrados) se encuentra en intervalo de incertidumbre: $$A \in (373\;,\;376)\subset \mathbb{R} \quad (1)$$.

-oOo-

Ahondando un poco más, y a modo de conclusión: Es de notar que, como todo cálculo amplifica los errores en los datos del mismo, al propagarse dichos errores a través del mismo, es posible que se pierdan cifras significativas en el resultado que obtengamos, aún habiendo limitado el número de significativas en la presentación del resultado al del menor número de cifras significativas de entre los datos (que son tres). Así, como vamos a ver a continuación, no todas las cifras del resultado presentado, $374\,\text{m}^2$, son significativas.

En concreto, la cifra de las unidades se ha perdido como cifra significativa; en efecto, démonos cuenta de que el punto punto medio del intervalo de incertidumbre que hemos calculado es $374,5$ y la semiamplitud del mismo $\Delta_A=\dfrac{376-373}{2}=1,5$. Comprobamos que, efectivamente, el valor calculado, $374\,\text{m}^2$, está en dicho intervalo, pero, para que la cifra de menor peso, la de las unidades, fuese una cifra significativa, el margen de error del resultado que hemos dado debería ser igual o inferior a $0,5$ (media unidad del orden de magnitud de la última cifra, la de las unidades), sin embargo la semiamplitud del intervalo calculado, $1,5$, es mayor que $0,5$, por lo que se deduce de ello que la cifra de las unidades no es una cifra significativa.

En consecuencia, en el resultado del cálculo que hemos presentado, $374\,\text{m}^2$, sólo son cifras significativas la de las decenas y la de las centenas; la de las unidades no lo es, por lo que, podemos afirmar que el valor del área obtenido es $$A \approx \mathbb{37}\underset{?}{4}\,\text{m}^2$$ en el cual, de acuerdo con lo que acabamos de razonar, hay que anotar que tiene 2 cifras significativas, las de mayor peso, la de las centenas y la de las decenas, siendo sin embargo dudosa la de las unidades.

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Nota importante: De manera alternativa y mucho más correcta, también puede resolverse este ejercicio, recurriendo al cálculo de la cota de error relativo del resultado a partir de las cotas de error relativo de los factores, teniendo en cuenta su relación con la cota de error absoluto, de manera parecida a tal como he hecho, por ejemplo, para resolver este otro problema: [1 (muy recomendable)]

Procedamos a hacerlo de esta manera y veremos que los resultados que obtendremos son más correctos que los obtenidos anteriormente de manera un tanto estimativa. Para ello, es necesario recordar que como en el cálculo del área interviene una operación de producto, $A=a\cdot b$, la cota de error relativo del área es igual a la suma de las cotas de error relativo de los datos: $\varepsilon_A=\varepsilon_a+\varepsilon_b$. Una vez hayamos calculador la cota de error relativo de $A$, tan solo tendremos que hacer uso de la relación entre la cota de error absoluto y la de error relativo: $\Delta_A = A\cdot \varepsilon_A$

Calculemos, primero, las cotas relativos de los factores: $\varepsilon_a:=\dfrac{\Delta_a}{a}=\dfrac{0,005}{21,64}$ y $\varepsilon_a:=\dfrac{\Delta_b}{b}=\dfrac{0,05}{17,3}$. Entonces $\varepsilon_A=\dfrac{0,005}{21,64}+\dfrac{0,05}{17,3}\approx 3,121\times 10^{-3}$, con lo cual $\Delta_A=374 \cdot 3,121\times 10^{-3} \overset{3 c.s.}{\approx}1,17\,\text{m}^2$.

Así, tenemos que el intervalo de incertidumbre que contienen al valor verdadero del área es $[374-1,17\;,\;3,74+1,17]\overset{3 c.s.}{=}[373\;,\;375]\,\text{m}^2$. Este resultado es un poco más preciso que el obtenido estimativamente en $(1)$, si bien llegamos a la misma conclusión en lo que se refiere a que la cifra de las unidades en el valor obtenido del cálculo del área es dudosa.

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Un ejercicio para adecuar el resultado al número de cifras significativas que corresponda, según intervengan sumas o productos en la operación combinada del resultado, atendiendo al número de cifras signicativas de los datos (los datos de las medidas son siempre inexactos)

Se ha encargado a una velería la elaboración de una vela triangular con las siguientes medidas de los lados: $g=7,2\,\text{m}$ (longitud del grátil, con $3$ cifras significativas [$3$ c.s.] y $1$ cifra decimal significativa [$1$ c.d.s.]); $b=6,11\,\text{m}$ (longitud de la baluma, con $3$ c.s. y $2$ c.d.s.), y $p=5,23\,\text{m}$ (longitud del pujamen, con $3$ c.s. y $2$ c.d.s.). Se pide que calculemos el área y el perímetro de la vela, adecuando el resultado al número de cifras significativas que corresponda a cada cálculo.

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Antes de comenzar con los cálculos del problema, es necesario recordar que se dice que una cifra de una determinada cantidad es una cifra significativa si su valor se conoce con seguridad. Una dato extraído siempre de una medida o del resultado de un cálculo precedente es tanto más preciso cuánto mayor sea su número de cifras significativas. Cuando hablemos del número de cifras significativas de una cantidad, nos referimos al conjunto de sus cifras significativas, ya sean de la parte entera o de la parte decimal de dicha cantidad (en el caso de que tenga una parte decimal); si, en particular, hablamos del número de cifras decimales significativas de una cantidad con parte decimal, nos referimos únicamente a las cifras significativas de la parte decimal de la misma. Por eso, en los datos del enunciado, por ejemplo, decimos que $5,23$ tiene tres cifras significativas, la de la parte entera y las dos de la parte decimal; a las dos de la parte decimal, aclaramos que son cifras decimales significativas, lo cual, como veremos enseguida, es importante en el caso de que la operación combinada del cálculo global conste tan sólo de sumas o restas.

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Nota: Aunque en este ejercicio no nos haga falta lo que voy a comentar ahora, sabed que una manera segura de contabilizar el número de cifras significativas de un dato y evitar así errores a la hora de contabilizarlas consiste en expresar la cantidad de dicho dato en notación científica: el número de cifras de la mantisa será, sin lugar a dudas, el número de cifras significativas de dicho dato; por ejemplo, consideremos un dato (no tiene nada que ver con este problema) tal como $145,007\,6$; éste tiene siete cifras significativas (en este caso los dos ceros también lo son), y, para ver ésto con claridad —hay datos en los que ciertos ceros que aparecen en ellos no son cifras significativas; tal es el caso de $0,0017$, y que tiene pues sólo dos cifras significativas, el $1$ y el $7$— en el caso de $145,007\,6$, sí son significativos los ceros que aparecen; para salir de dudas, puede escribirse en notación científica, $1,450\,076 \times 10^4$, y viendo pues que la mantisa $1,450\,076$ consta cláramente de $7$ cifras, podemos asegurar que esas siete cifras son todas las cifras significativas de $145,007\,6$.

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Para presentar el número correcto de cifras significativas en la cantidad que resulta del cálculo, hay que tener en cuento algo muy importante y que resulta evidente: la precisión del resultado en un cálculo no puede ser mayor que la del dato que, como resultado que es de una medición, tenga menos precisión, es decir, la de aquél que tenga el menor número de cifras significativas; así que, en buena lógica, y en lo que respecta a las operaciones básicas de suma/resta y multiplicación/división, deberemos tener en cuenta que:

1. El número de cifras significativas en el resultado de una multiplicación o una división no será mayor que el menor número de cifras significativas del factor que, como dato, sea el menos preciso (que el que tenga el menor número de cifras significativas de entre el conjunto de factores)
2. El número de cifras decimales significativas en el resultado de una suma o una resta no será mayor que el menor número de cifras decimales significativas del sumando que tenga menos precisión (que el que tenga el menor número de cifras decimales significativas)

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Ya estamos ahora en condiciones de ponernos a realizar los cálculos de este problema y a presentar correctamente los resultados en cuanto al número de cifras significativas que proceda.

El perímetro de un triángulo viene dado por la suma de los lados, esto es, $7,2+6,11+5,23$, y cuyo resultado, con todas las cifras del resultado, tal cual, es $18,54$; ahora bien, debemos adecuarlo al número de cifras significativas que le corresponte: tratándose de una suma, el número de cifras decimales significativas de dicha suma ha de ser igual al número de cifras decimales significativas del dato que tiene el menor número de las mismas, que corresponde a la longitud del grátil, que tiene $1$ c.d.s., luego el resultado, con la aproximación (por redondeo) a $1$ cifra decimal significativa es $18,5\, \text{m}$ (con $1$ c.d.s.)

Para calcular el área, vamos a utilizar la fórmula de Herón: $A=\sqrt{s\,(s-g)\,(s-b)\,(s-p)} \quad (1)$, donde $s$ denota el semiperímetro. En el cálculo del semiperímetro intervienen dos sumas y una división por $2$ (que es un dato exacto), cuyo resultado es $s=9,27$ (con todas sus cifras). Como, naturalmente, el cálculo hay que completarlo con dos restas/sumas, tres productos y una raíz cuadrada, utilizamos todas esas cifras del semiperímetro, por lo que la operación combinada y completa de (1) nos da $15,651\,618\,86$, pero, claro está, tenemos que adecuar ese resultado que leemos en la calculadora, aproximándolo por redondeo, al menor número de cifras significativas que corresponde al dato con el menor número de cifras significativas que intervenga en la operación combinada (1), por figurar en ella operaciones de multiplicación; el dato con el menor número de cifras significativas es la longitud del grátil, que tiene $2$ c.s., luego el resultado que deberemos presentar (aproximando por redondeo) es $16\,\text{m}^2$ (con $2$ c.s.).

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Relaciones de desigualdad entre las medias: armónica, geométrica, aritmética y cuadrática

En los últimos artículos anteriores a éste hemos demostrado que, en un caso concreto (para la pareja de números positivos $a$ y $b$, tales que $a+b=1$), la media armónica es menor que la media geométrica y ésta es menor que la m. aritmética, que, a su vez es menor que la media cuadrática. También hemos ido anunciado que estas desigualdades, en realidad, se generalizan a un conjunto arbitrario de $n$ números reales distintos de cero, sin ninguna restricción en la suma de los mismos. La demostración de esta proposición es, desde luego, un poquito más elaborada que con la restricción de suma igual a uno y con sólo dos números. En un futuro artículo haremos esta demostración general. De momento, avancemos pues esta importante cadena de desigualdades entre las medias citadas, y recordemos que una media, $M$, referida a un conjunto de datos es un parámetro estadístico tal que $\text{mínimo}(\{x_1,\ldots,x_n\}) \le M \le \text{máximo}(\{x_1,\ldots,x_n\})$: $$\displaystyle \text{MH}(\{x_1,\ldots,x_n\}) \le \displaystyle \text{MG}(\{x_1,\ldots,x_n\}) \le \displaystyle \text{MA}(\{x_1,\ldots,x_n\}) \le \displaystyle \text{MQ}(\{x_1,\ldots,x_n\})$$

Comparación de la media cuadrática con la media aritmética en unas condiciones concretas

Se consideran dos números reales positivos, $a$ y $b$, tales que $a+b=1$, se pide que demostremos que la media geométrica de dichos números es menor que su media aritmética.

Recordemos las definiciones de media cuadrática de $n$ números, $\displaystyle \text{MQ}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\sqrt{ \dfrac{1}{n} \left(x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ \ldots + x_{n}^{2}\right)}$, y de media aritmética, $\text{MA}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}$

En el caso que nos ocupa: $\text{MQ}(\{a,b\}):=\sqrt{\dfrac{1}{2}\,(a^2+b^2)}$ y teniendo en cuenta que $a+b=1$, $b=a-1$, con lo cual $\text{MQ}(\{a,b\})=\sqrt{\dfrac{1}{2}\,(a^2+(1-a^2)}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\gt \dfrac{1}{2}$, valor que es igual al de la media aritmética, pues $\text{MA}(\{a,b\}):=\dfrac{a+b}{2}\overset{a+b=1}{=}\dfrac{1}{2}$. Por consiguiente, $$\text{MQ}(\{a,b\})\gt \text{MA}(\{a,b\}) \therefore \text{MA}(\{a,b\})\lt \text{MQ}(\{a,b\})$$

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Comentario:
Esta relación de desigualdad se extiende a un número arbitrario de números reales distintos de cero (positivos y negativos) cuya suma no necesariamente sea igual a $1$. La demostración es un poco más elaborada.

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Comparación de la media geométrica con la media aritmética en unas condiciones concretas

Se consideran dos números reales positivos, $a$ y $b$, tales que $a+b=1$, se pide que demostremos que la media geométrica de dichos números es menor que su media aritmética.

Recordemos las definiciones de media geométrica de $n$ números, $\displaystyle \text{MG}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \ldots \cdot x_n}$, y de media aritmética, $\text{MA}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}$

En el caso que nos ocupa: $\text{MG}(\{a,b\}):=\sqrt[2]{a\cdot b}$ y teniendo en cuenta que $a+b=1$, $b=a-1$, con lo cual $\text{MG}(\{a,b\})=\sqrt{a-a^2}$, cantidad que, teniendo en cuenta que $0\lt a \lt 1$, alcanza un máximo absoluto (cuyo valor es $\dfrac{1}{2}$) para $a=\dfrac{1}{2}$, valor que, por otra parte es igual al de la media aritmética, pues $\text{MA}(\{a,b\}):=\dfrac{a+b}{2}\overset{a+b=1}{=}\dfrac{1}{2}$. Por consiguiente, $$\text{MG}(\{a,b\})\lt \dfrac{1}{2}=\text{MA}(\{a,b\}) \therefore \text{MG}(\{a,b\})\lt \text{MA}(\{a,b\})$$

-oOo-

Comentario:
Esta relación de desigualdad se extiende a un número arbitrario de números reales distintos de cero (positivos y negativos) cuya suma no necesariamente sea igual a $1$. La demostración es un poco más elaborada.

$\diamond$

Comparación de la media armónica con la media aritmética en unas condiciones concretas

Se consideran dos números reales positivos, $a$ y $b$, tales que $a+b=1$, se pide que demostremos que la media armónica de dichos números es menor que su media aritmética.

Recordemos las definiciones de media armónica de $n$ números, $\text{MH}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\ldots+\dfrac{1}{x_n}}$, y de media aritmética, $\text{MA}(\{x_1,\ldots,x_n\}):=\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}$

En el caso que nos ocupa: $\text{MH}(\{a,b\}):=\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2\,ab}{a+b}\overset{a+b=1}{=}2\,ab \quad (1)$

Por otra parte, en el artículo precedente a éste en este mismo blog, y en las condiciones del eneunciado, hemos demostrado que $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$, es decir,
  $\dfrac{a+b}{2\,ab} \gt 2$
    $a+b \gt 2\,ab$
      $\dfrac{a+b}{2} \gt ab \Rightarrow ab \lt \dfrac{a+b}{2}=:\text{MA}(\{a,b\}) \quad (2)$

Entonces, recordemos que, de $(1)$, se tiene que:
  $\text{MH}(\{a,b\})=2\,ab \lt ab$
y teniendo en cuenta $(2)$,
  $\text{MH}(\{a,b\})=2\,ab \lt ab \lt \text{MA}(\{a,b\}) \therefore \text{MH}(\{a,b\}) \lt \text{MA}(\{a,b\}) $

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Comentario:
Esta relación de desigualdad se generaliza para un número arbitrario de números reales distintos de cero (positivos y negativos) cuya suma no necesariamente sea igual a $1$. La demostración es un poco más elaborada.

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Otra manera de demostrar la proposición del ejercicio anterior

Se consideran dos números reales positivos, $a$ y $b$, tales que $a+b=1$, se pide que demostremos la siguiente desigualdad $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$, empleando un método alternativo al del ejercicio del artículo precedente.

Recordemos que, ya sea que $a=b$, o, por el contrario, que $a\neq b$, hemos visto (en el artículo precedente a éste) que la desigualdad propuesta podemos demostrarla de la siguiente manera:
  $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=$
    $=\dfrac{a+b}{a}+\dfrac{a+b}{b}$
      $=\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}$
        $=1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+1$
          $=2+\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)$
Y teniendo en cuenta que, al ser $a$ y $b$, positivos y menores que uno, se tiene que $0\lt \dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\gt 1$. En consecuencia, $2+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\gt 2$. Por consiguiente,
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$$

Sin embargo, ahora, nos proponemos hacer la demostración mediante un método alternativo:
Vamos a distinguir los dos casos siguientes, que cubren todas las posibilidades:

1. En el caso de que $a=b$, entonces, como $0\lt a \lt 1$ y $0\lt b \lt 1$ y $a+b=1$, se tiene que $a=b=\dfrac{1}{2}$, luego $\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2$, y, por tanto, $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4\gt 2 \quad \diamond$
2. En el caso de que $a\neq b$, entonces, como $0\lt a \lt 1$ y $0\lt b \lt 1$ y $a+b=1$, y visto el caso anterior, por el principio (de recuento) del palomar, uno de los dos tiene que ser menor que $\dfrac{1}{2}$, que, sin pérdida de generalidad, vamos a suponer que éste sea $a$. Entonces, si $a\lt \dfrac{1}{2}$, se tiene que $\dfrac{1}{2} \gt \dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2$, y, por tanto, $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2+\dfrac{1}{b}$. Pero, el valor de $\dfrac{1}{b}$, ha de ser necesariamente mayor que cero, en consecuencia $2+\dfrac{1}{b}\gt 2$, con lo cual $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \gt 2+\dfrac{1}{b} \gt 2$$ $\diamond$

Un sencillo ejercicio de demostración

Se consideran dos números reales positivos, $a$ y $b$, tales que $a+b=1$. Se pide que demostremos que, en estas condiciones, $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$

Ya sea que $a=b$, o, por el contrario, que $a\neq b$, podemos demostrar la desigualda propuesta de la siguiente manera:   $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=$
    $=\dfrac{a+b}{a}+\dfrac{a+b}{b}$
      $=\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}$
        $=1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+1$
          $=2+\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)$
Y teniendo en cuenta que, al ser $a$ y $b$, positivos y menores que uno, se tiene que $0\lt \dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\gt 1$. En consecuencia, $2+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\gt 2$. Por consiguiente,
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$$

  $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=$
    $=\dfrac{a+b}{a}+\dfrac{a+b}{b}$
      $=\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}$
        $=1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+1$
          $=2+\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)$
Y teniendo en cuenta que, al ser $a$ y $b$, positivos, se tiene que $\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\gt 0$. En consecuencia, $2+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\gt 2$. Por consiguiente,
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\gt 2$$ $\diamond$

Reducciones al primer cuadrante de las razones de los cuadrantes segundo, tercero y cuarto

Teniendo en cuenta las simetrías y rotaciones del triángulo (que se forma en la circunferencia trigonométrica al fijar el ángulo en diversos cuadrantes), veamos algunas relaciones de las razones trigonométricas de ángulos fuera del primer cuadrante con el ángulo $\alpha$ del primer cuadrante. Para ello, basta con hacer los dibujitos, de manera que, sin más, teniendo en cuenta los signos de la proyecciones de las razones con los ejes cartesianos, resulta comprensible lo siguiente:

Algunas relaciones entre las razones trigonométricas del segundo cuadrante y las del ángulo de referencia $\alpha$ del primer cuadrante:
  $\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{2})=\cos(\alpha)$
  $\cos(\alpha+\dfrac{\pi}{2})=-\sin(\alpha)$
  $\tan(\alpha+\dfrac{\pi}{2})=-\dfrac{1}{\tan(\alpha)}$

-oOo- Y, como $\pi-\alpha$ y $\alpha$ son ángulos suplementarios:
  $\sin(\pi-\alpha)=\sin(\alpha)$
  $\cos(\pi-\alpha)=-\cos(\alpha)$
  $\tan(\pi-\alpha)=-\tan(\alpha)$

Algunas relaciones entre las razones trigonométricas del tercer cuadrante y las del ángulo de referencia $\alpha$ del primer cuadrante:
  $\sin(\alpha+\pi)=-\sin(\alpha)$
  $\cos(\alpha+\pi)=-\cos(\alpha)$
  $\tan(\alpha+\pi)=\tan(\alpha)$

Algunas relaciones entre las razones trigonométricas del cuarto cuadrante y las del ángulo de referencia $\alpha$ del primer cuadrante:
  $\sin(2\,\pi-\alpha)=\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)$
  $\cos(2\,\pi-\alpha)=\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$
  $\tan(2\,\pi-\alpha)=\tan(-\alpha)=-\tan(\alpha)$

-oOo-   $\sin(\dfrac{3}{2}\,\pi+\alpha)=\sin(-\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=-\cos(\alpha)$
  $\cos(\dfrac{3}{2}\,\pi+\alpha)=\sin(-\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=\sin(\alpha)$
  $\tan(\dfrac{3}{2}\,\pi+\alpha)=\tan(-\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=-\dfrac{1}{\tan(\alpha)}$

-oOo-

Tengamos en cuenta también las razones trigonométricas entre ángulos complementarios del primer cuadrante:
  $\sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cos(\alpha)$
  $\cos(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\sin(\alpha)$
  $\tan(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\dfrac{1}{\tan(\alpha)}$
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Una aplicación de la trigonometría a un problema de velocidad relativa

Una embarcación $A$ navega hacia el Este a una velocidad de $10$ nudos. Nos preguntamos a qué velocidad debe desplazarse otra embarcación $B$ que navega con rumbo $030^\circ$ (esto es, $\text{N}\,30^\circ\,\text{E}$) para que, desde $A$ se vea a $B$ alejarse en todo momento hacia el Norte?

Representando los vectores de velocidad $\vec{v_A}$, $\vec{v_B}$ y el vector de velocidad relativa de $B$ con respecto a $A$ ($\vec{v_r}=\vec{v_B}-\vec{v_A}$) en las condiciones expuestas en el enunciado, se configura el siguiente triángulo vectorial, que, en nuestro caso es un triángulo rectángulo:

Entonces, como el módulo de $\vec{v_A}$ es $\left\|\vec{v_A}\right\|=10$ nudos (que designaremos por, por comodidad, por $v_A$), el módulode $\vec{B}$ (que designaremos por $v_B$) ha de cumplir que $\dfrac{10}{v_B}=\cos(90^\circ-30^\circ)$, esto es,
  $\dfrac{v_B}{10}=\dfrac{1}{\cos(60^\circ)}$
    $\dfrac{v_B}{10}=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}$
      $\dfrac{v_B}{10}=2$
        $v_B=2\cdot 10$
          $v_B=20$ nudos
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