Otro ejemplo de clasificación y caracterización de curvas cónicas

Queremos estudiar la siguiente cónica: $\mathcal{C}: y^2+3x+5y-8=0$$

Recordemos que, dada una curva cónica de ecuación (general) $$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$ y siendo $\Delta:=b^2-4ac$ se tiene que ésta corresponde a una elipse si $\Delta \lt 0$; a una hipérbola si $\Delta \gt 0$ y a una parábola si $\Delta=0$

En nuestro caso: $a=b=0$, $c=1$ y $f=-8$, luego $\Delta = 0^2-4\cdot 0 \cdot 1 = 0$, por lo que la ecuación propuesta corresponde a una parábola.

Escribámosla ahora en forma reducida, esto es, de la forma $(y-y_V)^2=4c\,(x-x_V) \quad (1)$, donde $V(x_V,y_V)$ es el vértice de la parábola; $F(x_V+c,y_V)$ es el foco y $\text{r.d.}:$
  $y^2+3x+5y-8=0$
    $(y^2+5y)+3x-8=0$
      $(y+\frac{5}{2})^2-(\frac{5}{2})^2+3x-8=0$
        $(y+\frac{5}{2})^2+3x-\frac{57}{4}=0$
          $(y+\frac{5}{2})^2=-3x+\frac{57}{4}$
            $(y-(-\frac{5}{2}))^2=-3\,(x-\frac{1}{3}\cdot\frac{57}{4})$
              $(y-(-\frac{5}{2}))^2=-3\,(x-\frac{19}{4}) \quad (1')$
Comparando (1) con (1'), deducimos que $y_V=-\frac{5}{2}$ y $x_V=\frac{19}{4}$, luego el vértice de la parábola es el punto $V(\frac{19}{4}\,,\,-\frac{5}{2})$

Por otra parte, sabemos que en una parábola cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas, $y^2=4c\,x \quad (2)$, $c=\text{dist}(O,F)$, luego $x_F=c$ y $\text{r.d.}:x=-c$ es la ecuación de su recta directriz.

En nuestro caso (la parábola está desplazada a lo largo del eje de abscisas con respecto a (2)), el vértice se ve afectado, por supuesto, del mismo desplazamiento, por lo que $x_F=x_V+c=\frac{10}{4}+c$ y $\text{r.d.}:x=-c+x_V$. De la comparación de (1') y (2) vemos también que $4c=-3$ y por tanto, $c=-\frac{3}{4}$, con lo cual, $x_F=\frac{19}{4}+(-\frac{3}{4})=4$, y como $y_F=-\frac{5}{2}$, el foco es el punto $F(4\,,\,-\frac{5}{2})$. Y, en cuanto a la recta directriz, tiene por ecuación: $\text{r.d.}:x=-(-\frac{3}{4})+\frac{19}{4}$, es decir, $\text{r.d.}:x=\frac{11}{2}$

Por lo que se refiere a la excentricidad -parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia- de una parábola, recordemos que es igual a $1$. Nota: Recordemos también que, para una hipérbola, la excentricidad es mayor que $1$; para una elipse es menor que $1$, y, en el caso particular de que dicha elipse sea una circunferencia, en cuyo caso los semiejes de la elipse tienen el mismo valor, ésta es igual a $0$. $\diamond$