Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $\dfrac{x^2}{25}-\dfrac{y^2}{36}=1$. Queremos calcular las coordenadas del centro y de los focos, y también su excentricidad; y, de haber rectas asíntotas para dicha cónica, queremos también encontrar sus ecuaciones, el ángulo que forman con el eje de abcisas y el ángulo que forman entre ellas.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una hipérbola centrada es $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$, es claro que la ecuación propuesta corresponde a una hipérbola centrada (su centro es el origen de coordenadas), siendo $a^2=25$, y por tanto $a=\sqrt{25}=5$; y $b^2=36$, con lo cual $b=\sqrt{36}=6$. Teniendo en cuenta que $2\,c$, es la distancia entre los focos $F(c,0)$ y $F'(-c,0)$ (que están sobre el eje de abscisas), se relaciona con $a$ y $b$, mediante la ecuación $c^2=a^2+b^2$, vemos que $c^2=25+36=61$, luego $c=\sqrt{61}$; por consiguente las coordenadas de los focos son $F(\sqrt{61},0)$ y $F'(-\sqrt{61},0)$. Por otra parte, la excentricidad de la cónica es $e:=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{61}}{5}\approx 1,5621$, que, como debe ser tratándose en una hipérbola, es mayor que $1$. Tratándose de una hipérbola, ésta tiene dos asíntotas, y al ser una h. centrada éstas pasan por el origen de coordenadas, las ecuaciones de dichas asíntotas son $a_1:y=:\tan(\theta_1)\,x=\dfrac{b}{a}\,x=\dfrac{6}{5}\,x$, y $a_2:y:=\tan{\theta_2}\,x=\dfrac{b}{-a}\,x=-\dfrac{6}{5}\,x$. El ángulo que forma $a_1$ con el eje de abscisas es $\theta_1=\text{arctan}(6/5)\approx 50^\circ\,11'$, el que forma $a_2$ con el eje de abscisas es por tanto $\theta_2=180^\circ-\theta_1\approx 129^\circ\,49'$, y el ángulo que forman las dos asíntotas entre sí es por consiguiente $180^\circ - 2\cdot 50^\circ\,11' = 79^\circ\, 38'$   $\diamond$