Otro ejemplo de clasificación y caracterización de curvas cónicas

Queremos estudiar la siguiente cónica: $\mathcal{C}: y^2+3x+5y-8=0$$

Recordemos que, dada una curva cónica de ecuación (general) $$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$ y siendo $\Delta:=b^2-4ac$ se tiene que ésta corresponde a una elipse si $\Delta \lt 0$; a una hipérbola si $\Delta \gt 0$ y a una parábola si $\Delta=0$

En nuestro caso: $a=b=0$, $c=1$ y $f=-8$, luego $\Delta = 0^2-4\cdot 0 \cdot 1 = 0$, por lo que la ecuación propuesta corresponde a una parábola.

Escribámosla ahora en forma reducida, esto es, de la forma $(y-y_V)^2=4c\,(x-x_V) \quad (1)$, donde $V(x_V,y_V)$ es el vértice de la parábola; $F(x_V+c,y_V)$ es el foco y $\text{r.d.}:$
  $y^2+3x+5y-8=0$
    $(y^2+5y)+3x-8=0$
      $(y+\frac{5}{2})^2-(\frac{5}{2})^2+3x-8=0$
        $(y+\frac{5}{2})^2+3x-\frac{57}{4}=0$
          $(y+\frac{5}{2})^2=-3x+\frac{57}{4}$
            $(y-(-\frac{5}{2}))^2=-3\,(x-\frac{1}{3}\cdot\frac{57}{4})$
              $(y-(-\frac{5}{2}))^2=-3\,(x-\frac{19}{4}) \quad (1')$
Comparando (1) con (1'), deducimos que $y_V=-\frac{5}{2}$ y $x_V=\frac{19}{4}$, luego el vértice de la parábola es el punto $V(\frac{19}{4}\,,\,-\frac{5}{2})$

Por otra parte, sabemos que en una parábola cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas, $y^2=4c\,x \quad (2)$, $c=\text{dist}(O,F)$, luego $x_F=c$ y $\text{r.d.}:x=-c$ es la ecuación de su recta directriz.

En nuestro caso (la parábola está desplazada a lo largo del eje de abscisas con respecto a (2)), el vértice se ve afectado, por supuesto, del mismo desplazamiento, por lo que $x_F=x_V+c=\frac{10}{4}+c$ y $\text{r.d.}:x=-c+x_V$. De la comparación de (1') y (2) vemos también que $4c=-3$ y por tanto, $c=-\frac{3}{4}$, con lo cual, $x_F=\frac{19}{4}+(-\frac{3}{4})=4$, y como $y_F=-\frac{5}{2}$, el foco es el punto $F(4\,,\,-\frac{5}{2})$. Y, en cuanto a la recta directriz, tiene por ecuación: $\text{r.d.}:x=-(-\frac{3}{4})+\frac{19}{4}$, es decir, $\text{r.d.}:x=\frac{11}{2}$

Por lo que se refiere a la excentricidad -parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia- de una parábola, recordemos que es igual a $1$. Nota: Recordemos también que, para una hipérbola, la excentricidad es mayor que $1$; para una elipse es menor que $1$, y, en el caso particular de que dicha elipse sea una circunferencia, en cuyo caso los semiejes de la elipse tienen el mismo valor, ésta es igual a $0$. $\diamond$

Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $y^2=6x$. Queremos identificar el tipo de cónica, y calcular sus parámetros y elementos característicos.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una parábola con vértice en el origen de coordenadas y eje de simetría coincidente con el eje de abcsisas es $y^2=4c\,x$ -Observaciones: (1) a veces, se escribe la ecuación genérica de una parábola con vértice en el origen de la forma $y^2=2px$, donde $p=2c$; y (2), por supuesto, si el eje de simetría coincidiese con el eje de ordenadas, $x^2=2py=4cy$-. En el caso que nos ocupa es claro que el eje de simetría es el eje de abscisas, $c=\text{distancia}(O,F)$, siendo $F$ el foco de dicha parábola; así que vemos que, al ser, $6=4c$, $c=\dfrac{3}{2}$, luego las coordenadas del foco son $F(3/2,0)$. También sabemos que la recta directriz (perpendicular al eje de simetría) se encuentra al otro lado del vértice, y a la misma distancia del origen de coordenadas que la de éste al vértice, luego la ecuación de la recta directriz es $\text{rd}:x=-c=-\dfrac{3}{2}$.   $\diamond$

Parábola no centrada en el origen de coordenadas y con recta de simetría paralela a uno de los ejes de coordenadas

ENUNCIADO. Escríbase las posibles ecuaciones de una parábola cuyo vértice se sitúa en el punto $V(1,0)$ y que pasa por el punto $P(3,3)$ así como las coordenadas del foco $F$ y las ecuaciones de la recta de simetría ( que ha de ser paralela a uno de los ejes de coordenadas ) y de la recta directriz.

SOLUCIÓN.
Caso I ( La recta de simetría es paralela al eje Ox ):
Si el vértice estuviese centrado en el origen de coordenadas, la ecuación de dicha parábola ( e. reducida ) se escribiría $$y^2=4px$$ Sin embargo, teniendo en cuenta ahora la traslación del vértice al punto $(1,0)$, la ecuación de la parábola se escribirá $$y^2=4p(x-1)$$ Determinemos ahora $p$ imponiendo que la parábola pase por el punto $P(3,3)$, con lo cual $$3^2=4p(3-1)$$ de donde despejando $p$ obtenemos $$p=\dfrac{9}{8}$$ Así, la ecuación de la parábola es $$y^2=4\cdot \dfrac{9}{8}\,(x-1)$$ es decir $$y^2=\dfrac{9}{2}\,(x-1)$$ por lo que podemos escribir las coordenadas del foco, ya que sabemos que éstas son $F(p+1,0)$, esto es $$F(9/8+1,0) \rightarrow (17/8,0)$$ Por otra parte, la recta directriz, tiene por ecuación $x=1-p=1-9/8$ esto es $$\text{recta directriz}\equiv x -\dfrac{1}{8}$$

Caso II ( La recta de simetría es paralela al eje Oy ):
Si el vértice estuviese centrado en el origen de coordenadas, la ecuación de dicha parábola ( e. reducida ) se escribiría $$x^2=4py$$ Teniendo en cuenta ahora la traslación del vértice al punto $(1,0)$, la ecuación de la parábola se escribirá $$(x-1)^2=4py$$ Determinemos ahora $p$ imponiendo que la parábola pase por el punto $P(3,3)$, con lo cual $$(3-1)^2=4p\cdot 3$$ de donde despejando $p$ obtenemos $$p=\dfrac{1}{3}$$ Así, la ecuación de la parábola es $$(x-1)^2=\dfrac{4}{3}\,y$$ que puede expresarse también de la forma $$y=\dfrac{3}{4}\,x^2-\dfrac{3}{2}\,x+\dfrac{3}{4}$$
Podemos escribir las coordenadas del foco teniendo en cuenta la traslación: $F(1,0+p)$, esto es $$F(1,0+1/3)\rightarrow (1,1/3)$$ Por otra parte, por la traslación, la recta directriz, tiene ahora por ecuación $y=-p=-\dfrac{1}{3}$
$\square$