Un ejercicio de incidencia de dos circunferencias

Consideremos las siguientes circunferencias: $\text{Cir}_1:x^2+y^2-6x-6y-90=0 \quad (1)$ y $\text{Cir}_2:x^2+y^2-2x-6y-90=0 \quad (2)$. Nos proponemos averiguar de qué tipo son, calcular los centros y los radios respectivos, y determinar los puntos de intersección entre ellas.

Veamos la primera. Como corresponde a una circunferencia con centro en otro punto distinto del origen de coordenadas, la escribiremos como $\text{Cir}_1:(x-x_{c_{1}})^2+(y-y_{c_{1}})^2-r_{1}^2=0$, esto es, $\text{Cir}_1:x^2-2x_{c_{1}}\,x+x_{c_{1}}^2+y^2-2x_{c_{1}}\,y+y_{c_{1}}^2 \quad (1')$, y comparando (1) con (1') deducimos: $x_{c_{1}}=-\dfrac{-6}{2}=3$, $y_{c_{1}}=-\dfrac{-6}{2}=3$ y $r_1=\sqrt{x_{c_{1}}^2+y_{c_{1}}^2)-(-90)}=\sqrt{3^2+3^2+90}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\,\text{u.l.a.}$ (unidades de longitud arbitrarias)

Analicemos ahora con la segunda, haciendo lo mismo: $\text{Cir}_2:(x-x_{c_{2}})^2+(y-y_{c_{2}})^2-r_{2}^2=0$, y por tanto, $\text{Cir}_2:x^2-2x_{c_{2}}\,x+x_{c_{2}}^2+y^2-2x_{c_{2}}\,y+y_{c_{2}}^2 \quad (2')$, y comparando (2) con (2') deducimos: $x_{c_{2}}=-\dfrac{-2}{2}=1$, $y_{c_{2}}=-\dfrac{-6}{2}=3$ y $r_2=\sqrt{x_{c_{2}}^2+y_{c_{2}}^2)-(-90)}=\sqrt{1^2+3^2+90}=\sqrt{100}=10\,\text{u.l.a.}$ (unidades de longitud arbitrarias)

Finalmente, calculemos los puntos de intersección resolviendo el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-6x-6y-90=0 \quad (1)\\ x^2+y^2-2x-6y-90=0 \quad (2)\end{matrix}\right.$$ Restando la segunda de la primera: obtenemos $4x=0 \Leftrightarrow x=0$, y sustituyendo en (1):
  $0^2+y^2-6\cdot 0-6y-90=0$
    $y^2-6y-90=0$
      $y=\dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1\cdot (-90)}}{2\cdot 1}=\dfrac{6\pm 6\sqrt{11}}{2}=3\cdot (1\pm \sqrt{11})$, luego estas dos circunferencias se intersecan en dos puntos: $A(0\,,\,3\cdot (1 + \sqrt{11}))$ y $B(0\,,\,3\cdot (1 - \sqrt{11}))$
$\diamond$