Un breve repaso a las funciones piso y techo

Las funciones discretas piso y techo envía número real $x$ a un número entero. Recordemos cómo se define la función piso, que se nota de la forma $\left \lfloor \,x\,\right \rfloor$: si $\mathbb{Z} \ni k=\left \lfloor x \right \rfloor$, entonces $k \le x \lt k+1$; por ejemplo, $\left \lfloor -2,1 \right \rfloor = -3 \because -3 \lt -2,1 \lt -2$. Por otra parte, la función, que notamos de la forma $\left \lceil x \right \rceil$, se define de la siguiente manera: si $\mathbb{Z} \ni k=\left \lfloor x \right \rfloor$, entonces $k-1 \lt \left \lceil x \right \rceil \le k$; por ejemplo; $\left \lceil -1,7 \right \rceil = -1 \because -2 \lt -1,7 \lt -1$

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Dicho ésto, sea un número real mayor o igual que $0$ y menor o igual que $2$,
¿cuál es el valor de $\left \lfloor \dfrac{ \left \lceil x \right \rceil}{3}\right \rfloor$ ?

Observemos que si $0 \le x \le 2$, entonces $0 \le \dfrac{ \left \lceil x \right \rceil}{3} \lt 1$, luego $\left \lfloor \dfrac{ \left \lceil x \right \rceil}{3}\right \rfloor=0$
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Las funciones piso, techo, parte entera, mantisa y redondeo

La función piso, $\lfloor x \rfloor$, de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Z}$, se define de la siguiente manera: $$ \lfloor x \rfloor = \text{máx}\{ k \in \mathbb{Z}: k \le x \}$$ Ejemplos: $\lfloor 1,3 \rfloor = 1$; $\lfloor -1,3 \rfloor = -2$; $\lfloor 0,3 \rfloor = 0$

La función techo, $\lceil x \rceil$, de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Z}$, se define de la siguiente manera: $$ \lceil x \rceil = \text{mín}\{ k \in \mathbb{Z}: k \ge x \}$$ Ejemplos: $\lceil 1,3 \rceil = 2$; $\lceil -1,3 \rceil = -1$; $\lceil 0,3 \rceil = 1$

La función parte entera, $\
[ x ]$, de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Z}$, se define de la siguiente manera: $$ [x]=\left\{\begin{matrix}\lceil x \rceil & \text{si} & x\ge 1 \\ 0 & \text{si} & -1 \le x\le 1 \\ \lfloor x \rfloor & \text{si} & x\le -1 \end{matrix}\right.$$ Ejemplos: $[ 1,3 ] = 2$; $[-1,3 ] = -2$; $[0,3] = 0$; $[-0,3] = 0$

Observación: Definición de la función empleando el condicional ( GeoGebra ): Si[x<-1,ceil(x),Si[x>1,floor(x),0]]


La función mantisa (o parte decimal ), $\
\{ x \}$, de $\mathbb{R}$ en $(-1,1)\subset \mathbb{R}$, se define de la siguiente manera: $$ \{x\}=\left\{\begin{matrix}x - \lfloor x \rfloor & \text{si} & x\ge 0 \\ \lfloor x \rfloor - x & \text{si} & x \prec 0 \end{matrix}\right.$$ Ejemplos: $\{ 1,3 \} = 0,3$; $\{-1,3 \} = 0,3$

La función redondeo, $\text{redondeo}(x)$, de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Z}$, se define de la siguiente manera: $$ \text{redondeo}(x)=\lfloor(x+0,5)\rfloor$$ Ejemplos: $\text{redondeo}(1,4)=1$; $\text{redondeo}(1,6)=2$; $\text{redondeo}(-0,7)=-1$; $\text{redondeo}(-0,2)=0$;$\text{redondeo}(-1,8)=-2$

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